买卖股票的最佳时机 II递推内存优化

股票买卖最大利润问题：动态规划解法

本文将介绍如何通过动态规划解决经典的“股票买卖最大利润”问题，并通过代码实例进行详细分析。

问题描述

给定一个整数数组 prices，其中 prices[i] 表示某天的股票价格，你可以选择在某些天买入和卖出股票，且每次只能买入一次，卖出一次，求你能够获得的最大利润。

解释

• 你有 n 天的股票价格，你可以选择在任意一个时间点买入和卖出股票。
• 买入和卖出操作必须满足：买入操作发生在卖出操作之前。
• 你可以进行多次买入卖出操作，但不能同时持有多只股票。

动态规划解法

状态定义

我们可以使用两个变量来表示不同的状态：

• f0：表示不持有股票的最大利润。
• f1：表示持有股票的最大利润。

状态转移方程

在每一天，最优策略是基于前一天的状态决定的。因此，我们有以下两种状态转移：

1. 更新 f0：如果今天你没有持有股票，可能是：

   • 保持不持有状态，f0 不变；
   • 卖出股票，获得利润，更新 f0 为 f1 + p，其中 p 是今天的股价。

   所以，更新 f0 的公式为：
   [
   f0 = \max(f0, f1 + p)
   ]

2. 更新 f1：如果今天你持有股票，可能是：

   • 保持持有状态，f1 不变；
   • 从没有持有股票转变为持有股票，更新 f1 为 f0 - p，即买入股票。

   所以，更新 f1 的公式为：
   [
   f1 = \max(f1, f0 - p)
   ]

初始化

• 初始时，没有持有股票，因此 f0 = 0。
• 初始时，持有股票是不可能的，因此 f1 = -inf（负无穷，表示不可达状态）。

最终结果

最终返回 f0，即在所有交易结束后，且没有持有股票时的最大利润。

代码实现

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        n = len(prices)
        f0 = 0  # 不持有股票的最大利润
        f1 = float('-inf')  # 持有股票的最大利润
        
        # 遍历每一天的股票价格
        for p in prices:
            # 如果今天没有持有股票，最大利润是保持不持有或卖出股票
            new_f0 = max(f0, f1 + p)
            # 如果今天持有股票，最大利润是保持持有或买入股票
            f1 = max(f1, f0 - p)
            # 更新不持有股票的最大利润
            f0 = new_f0
        
        # 返回最终不持有股票时的最大利润
        return f0

代码解析

1. 初始化：

   • f0 = 0，表示开始时没有持有股票，利润为零。
   • f1 = -inf，表示开始时不可能有持有股票的利润。

2. 遍历价格数组：

   • 每一天更新 f0 和 f1 的值：
     • new_f0 = max(f0, f1 + p)：如果不持有股票，今天的利润是“保持不持有”或“卖出股票”中的较大值。
     • f1 = max(f1, f0 - p)：如果持有股票，今天的利润是“保持持有”或“买入股票”中的较大值。
   • 更新 f0，即不持有股票的最大利润。

3. 返回结果：

   • 最终返回 f0，即不持有股票时的最大利润。

图示解析

如上图所示，动态规划通过不断更新 f0 和 f1，考虑每一天的买入卖出决策，从而推导出最终的最大利润。

时间和空间复杂度

• 时间复杂度：O(n)，其中 n 是 prices 数组的长度。我们只遍历一次 prices 数组。
• 空间复杂度：O(1)，只使用了常数空间来存储 f0 和 f1。

总结

通过动态规划的思想，我们能够高效地解决这个股票买卖问题。通过维护两个状态变量 f0 和 f1，我们可以从前一天的状态推导出最优的买卖决策，最终得到最大利润。相比暴力搜索的方法，这种方法更加高效，时间复杂度为 O(n)。

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        n=len(prices)
        f0=0
        f1=-inf#初始化边界 因为下一次的最优赚钱方案一定之和上一次的状态有关系，那么可以用两个int变量来存储
        for p in prices:
            new_f0=max(f0,f1+p)#如果下一次是没有持有的，那么下一次的最大值肯定是”保持没有持有“或者“持有但是卖出”里面选一
            f1=max(f1,f0-p)#这里设置new_f0的原因是，我的f1依赖于上一次的状态，如果new_f0就变成依赖想和一次的状态，显然不对
            f0=new_f0#如果下一次是持有的，那么下一次的最大值肯定是“保持持有”或者“没有持有但是买入，但是买入可以让下次赚更多，因为是互相关联的”
        return f0