Educational Codeforces Round 148 (Rated for Div. 2) E. Combinatorics Problem（递推/组合数）

原题链接：E. Combinatorics Problem

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题目大意：

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给定一个长度为 $n$ 的数组 $a$ （按照原题的公式获得） 和一个正整数 $k$，你要计算一个长度为 $n$ 的新数组 $b$ ，其中：

• $b_1=(C_k^1\cdot a_1)\mathrm{mod}998244353;$
• $b_2=(C_k^2\cdot a_1+C_k^1\cdot a_2)\mathrm{mod}998244353;$
• $b_3=(C_k^3\cdot a_1+C_k^2\cdot a_2+C_k^1\cdot a_3)\mathrm{mod}998244353$，以此类推。

具体而言，$b_i=({\sum }_{j=1}^i{C}_k^{i-j+1}\cdot a_j)\mathrm{mod}998244353$ 。

现在你要输出这个 $b$ 数组的异或和。

解题思路：

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看起来十分困难，我们看看能不能转化成递推的形式获得。

假设 $k=2$ ，那么我们的 $b$ 数组会是这样的：
$$\begin{array}{l}{b}_1=a_1\\ b_2=3\cdot a_1+a_2\\ b_3=6\cdot a_2+3\cdot a_2+a_3\\ b_4=10\cdot a_2+6\cdot a_2+3\cdot a_3+a_4\end{array}$$

假设 $b_0=0$ 我们对相邻两项作差看看会得到什么。

$$\begin{array}{l}{\Delta }_1=a_1\\ {\Delta }_2=2\cdot a_1+a_2\\ {\Delta }_3=3\cdot a_1+2\cdot a_2+a_3\\ {\Delta }_4=4\cdot a_1+3\cdot a_2+2\cdot a_3+a_4\end{array}$$

看起来似乎很有规律，发现我们还能再作一次差，那么会得到：

$$\begin{array}{l}{\Delta }_1^{\prime }=a_1\\ {\Delta }_2^{\prime }=a_1+a_2\\ {\Delta }_3^{\prime }=a_1+a_2+a_3\\ {\Delta }_4^{\prime }=a_1+a_2+a_3+a_4\end{array}$$

你会发现，嗯？这不是前缀和吗？

那么结论就是：$b$ 数组是 $a$ 数组的 $k+1$ 阶前缀和。

当然，这题也可以根据组合数推出来。

由 $C_n^k=C_{n-1}^k+C_{n-1}^{k-1}$ 即可得
$$\begin{array}{l}{b}_{n,k}={\sum }_{i=1}^n{C}_{n-i+1}^k\cdot a_i\\ b_{n,k}={\sum }_{i=1}^n(C_{n-i}^k+C_{n-i}^{k-1})\cdot a_i\\ b_{n,k}=b_{n-1,k-1}+b_{n-1,k}\end{array}$$

这样，我们开一个二维数组 $b_{n,k}$， $b_{n,k}$ 就能从之前的状态中推出来了。

当然，这里我们直接暴力做 $a$ 数组的 $k+1$ 次前缀和会比较方便一些。

时间复杂度：$O(nk)$

AC代码：

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#include <bits/stdc++.h>
#define YES return void(cout << "Yes\n")
#define NO return void(cout << "No\n")
using namespace std;

using ui64 = unsigned long long;
using PII = pair<int, int>;
using i64 = long long;

const int mod = 998244353;

void solve() {

    i64 n, x, y, m, k;

    cin >> n;
    vector<i64> a(n + 1);
    cin >> a[1] >> x >> y >> m >> k;

    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        a[i] = (a[i - 1] * x + y) % m;
    }

    // k + 1次前缀和
    for (int j = 1; j <= k + 1; ++j) {
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            a[i] = (a[i] + a[i - 1]) % mod;
        }
    }

    i64 c = 0;
    for (int i = k; i <= n; ++i) {
        c ^= a[i - k + 1] * i;
    }

    cout << c << '\n';
}

signed main() {

    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0), cout.tie(0);

    int t = 1; //cin >> t;
    while (t--) solve();

    return 0;
}

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