Language Models

本章介绍语言模型，内容包括：

1. Introduction to N-grams
2. Estimating N-gram Probabilities
3. Evaluation and Perplexity
4. Smoothing

Introduction to N-grams

Probalilistic Language Models（概率语言模型）的首要任务是估计一个字符串序列或者句子出现的可能性大小

自然的，可以定义$c(x_1,x_2,\cdots,x_n)$为在训练集中句子$x_1x_2\cdots x_n$出现的次数，$N$是训练集中句子的数目，直接定义

这个模型的泛化能力很差，那些在训练集中没有出现的句子，它的概率就强制为0了。

假设$W$是一句话，$w_1,w_2,\cdots,w_n$是构成这句话的单词，利用链式法则求$W$的概率公式如下：

现在的目标变成估计$P(w_i|w_1w_2\cdots w_i-1)$了，同样，如果直接采取频率的估计方法，可能的句子太多，将永远不会有足够的数据来估计这个条件概率密度。引入Markov Assumption:句子当前词出现的概率仅与前$N-1$个词有关,那么该模型就成为”N元模型”

最简单的模型即Unigram model，每个词出现的概率与上下文无关，

Bigram model:认为每个单词的出现只与它的前一个单词相关，

我们也可以使用$4$元模型，$5$元模型，$N$越大,语言模型的准确率越大，但是每增加一元，带来的是计算量的指数增长。事实上，句子中的long distance dependencies(长程依赖)是存在的，如:The computer which I had just put into the machine room on the fifth floor crashed.最后一个单词crashed实际上是与句子中靠前的computer相关，就算是使用5元模型也不可能把单词之前的相关性展示出来。

Estimating N-gram Probabilities

以二元模型为例，采用最大似然估计(Maximum Likelihood Estimate)，得到参数如下：

只需要用全部语料库中连着出现$(w_{i-1},w_i)$的次数 除以$w_{i-1}$出现的次数,当然要保证语料库足够大.在实际计算句子的概率时，往往在对数空间进行运算，有效避免了underflow(概率都是一些很小的数，几个小数相乘很快就超出了计算机精度了)。

一些公开的语言模型：

• SRILM
• Google N-Gram Release
• Google Book N-grams

Evaluation and Perplexity

如何评估模型？首先我们根据training set(训练集数据)求得模型参数，然后使用新的数据集(test set)来测试所建立语言模型的性能。Train set和Test set属于同一领域时，训练出的语言模型的准确性就高，对test set的预测性就越好。倘若两者属于不同领域，那么所训练的模型就未必好。

• Extrinsic evaluation：根据一个具体的任务，训练两个语言模型A和B，然后使用大量数据来监测A和B，比较两者的准确率，这会消耗大量时间
• Intrinsic evaluation：Perplexity
  

Smoothing

在 2 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-17">2</script>元语言模型中，很多单词对出现的次数为0，多元模型中情况更甚，另外，很可能我们使用的train set数据中计算的某个单词对概率为0，但是在test set中确实真实存在的，采用平滑技术解决零概率的问题

1. Add-one Smoothing
   
   Add-one Smoothing不适用于N-grams，通常用于平滑其他NLP模型，如文本分类，以及一些零概率出现比较少的情况。
   更一般的形式是Add-k Smoothing
   
2. Interpolation
   有时我们需要将多种语言模型——trigram(三元)、bigram(二元)、unigram(一元)模型混合使用，这就需要使用插值方法。
   
   如何设置λ呢？把原有的train set数据分成两份，一份继续作为train set（训练语料），用于初始的频率估计；另一份用来改善最初的频率估计，这一份便称为“held-out data”