本文探讨了一种使用二分图模型和容斥原理解决特定数学问题的方法。通过构造二分图，利用容斥原理计算合法排列数，采用类似背包问题的策略合并联通块，最终通过多项式快速幂求解。文章详细介绍了计算过程和关键步骤。
题面
试图构造二分图的模型,若第
i
i
i个位置上的数为
a
i
a_i
ai,那么左侧的
i
i
i向
a
i
a_i
ai连边.
考虑用容斥计算答案,显然
a
n
s
=
∑
i
=
0
n
f
i
(
n
−
i
)
!
(
−
1
)
i
ans=\sum_{i=0}^{n}f_i(n-i)!(-1)^i
ans=i=0∑nfi(n−i)!(−1)i
f
i
f_i
fi为有
i
i
i个数不满足条件的合法排列数,即在二分图中选了
i
i
i条边的方案数
二分图中的联通块只有两种,一种边数只有
n
/
k
−
1
n/k-1
n/k−1条,有
k
−
n
k-n%k
k−n个;另一种有
n
/
k
n/k
n/k条,有
n
n%k
n个显然一种合法的排列是不能选相邻两条边的,根据排列组合公式,
n
n
n条边中选
m
m
m条的方案数为
C
n
−
m
+
1
m
C_{n-m+1}^{m}
Cn−m+1m种(把
m
−
1
m-1
m−1条边与右边的边绑定,选了它那么右边的边就不能选)
然后就是类似背包的方法合并所有联通块,暴力卷积卷一下就好了
多项式快速幂的时候只要开头结尾NTT一下就好了,中间对每一项做普通快速幂就行
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