鸡兔同笼问题的解析

鸡兔同笼问题解析

问题描述

已知鸡和兔的总数量为n,总腿数为m。输入n和m,依次输出鸡和兔的数目，如果无解，则输出 No answer。

样例输入：
14 32
样例输出
12 2

样例输入：
10 16
样例输出
No answer

问题分析

此问题可以直接通过一元二次方程进行解析，也可以用C语言的穷举法进行解答，下面从两个方面进行分析

一元二次方程
设鸡有a只，兔子有b只，则a+b=n，2a+4b=m，联立解得a= $\frac{(4n-m)}{2}$ ,b = n - a。在什么情况下此解“不算数”呢，首先，a和b都是正整数。（算法一）

穷举算法就是通过内外循环来进行暴力破解。（算法二）

C语言描述

算法一

#include<stdio.h>
int main()
{
	int a,b,n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    a = (4*n-m)/2;
    b = n -a;
    if(m % 2 == 1 || a < 0 || b < 0)
    {
    	printf("No answer\n");
	}else{
		printf("%d %d",a,b);
	}
	return 0;
}

算法二

#include<stdio.h>//第一种暴力破解
int main()
{
	int a,b,n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
   	for(int a = 0 ; a < n ; a++)
   	{
   		for(int b =0 ; b < n ;b++)
   		{
   			if((2*a) + (4*b) == m)
   			{
   				printf("%d%d",a,b);
   				return 0;
			}
		}
	}
	printf("No answer\n");
	return 0;
}

#include<stdio.h>//第二种暴力破解
int main()
{
	int a,b,n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
   	for(int a = 0 ; a < n ; a++)
   	{
   		for(int b =0 ; b < n - a ;b++)
   		{
   			if((2*a) + (4*b) == m)
   			{
   				printf("%d%d",a,b);
   				return 0;
			}
		}
	}
	printf("No answer\n");
	return 0;
}

总结

相比较上面的三种算法

• 第一种算法（通过一元二次方程组解答）效率和代码量都比较小，是三种算法中最好的算法，时间复杂度为O(1)
• 第二个算法的第一种写法是完全通过穷举算法来进行，这样的时间复杂度是最大的，为：O(n²)
• 第二个算法的第二种写法，虽然缩减了数据的运算量，但还是运算量比较大，时间复杂度为：$$\frac{n^2}{2}$$

好的算法可以节约大量的时间，一些好的算法都是以数学为基础的，还望大家学好数学。