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最新推荐文章于 2022-01-17 00:29:37 发布

原创最新推荐文章于 2022-01-17 00:29:37 发布 · 343 阅读

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#何嘉阳

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本文介绍了一种计算在给定约束条件下哈密顿回路数量的方法。通过使用容斥原理并结合图论中的全排列思想，文章提供了一个详细的算法实现过程。

题目大意：

给你一张完全图，有一些边不能走，求哈密顿回路有多少条。

思路：

如果所有边都能走，就是求一个环形全排列，方案数就是（n-1）！/2，因为不能走的边很少，我们可以考虑容斥，选了k条边的情况，可以发现，如果选出来的路径有环（环不是最大的环），那么对答案贡献为0，不然我们可以把取出来的链看成一个块，方案数就为剩下点和块随便选的方案乘上块自己本身又可以翻转的方案除掉环大小和确定方向的方案。

程序：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define N 10000007
#define mo 1000000007
#define LL long long
LL ans,n,m,lala,hehehe,fff;
int x[N],y[N],flag[N],fa[N],la[N],he[N];
LL jc[N];
int o;
bool ff;

LL mul(LL x,LL y){
    if (y==1) return x;
    LL o=mul(x,y/2);
    o=(o*o)%mo;
    if (y&1) o=(o*x)%mo;
    return o;
}

int father(int x){
    int o=0;
    if (fa[x]!=x) o=father(fa[x]);
            else return x;
    fa[x]=o;
    return o;
}

void dfs(int dep,int p){
    if (dep>m){
        if (p==0) return; 
        o=0;ff=0; fff=0;
        for (int i=1;i<=m;i++)
        if (flag[i]){
            int u=father(x[i]),v=father(y[i]);
            if (u==v) ff=1;
            fa[u]=v;
        };
        for (int i=1;i<=m;i++)
        if (flag[i]){
            int u=father(x[i]);
            if (!he[u]) he[u]=1,o++;
        } 
        if (ff&&(p!=n||o>1)) {
        for (int i=1;i<=m;i++)
        if (flag[i]){
            int u=father(x[i]);
            he[u]=0;
        }
        for (int i=1;i<=m;i++)  
        if (flag[i]) fa[x[i]]=x[i],fa[y[i]]=y[i]; 
        return;
        }
        if (p&1) ans=((ans-jc[n-lala+o-1]*(1<<(o-1)))%mo+mo)%mo;
            else ans=((ans+jc[n-lala+o-1]*(1<<(o-1)))%mo+mo)%mo;
        for (int i=1;i<=m;i++)
        if (flag[i]){
            int u=father(x[i]);
            he[u]=0;
        }
        for (int i=1;i<=m;i++)  
        if (flag[i]) fa[x[i]]=x[i],fa[y[i]]=y[i]; 
        return;
    }
    if (dep>m) return;
    dfs(dep+1,p);
    flag[dep]=1;
    if (!la[x[dep]]) lala++;
    if (!la[y[dep]]) lala++;
    la[x[dep]]++; la[y[dep]]++;
    if (la[x[dep]]<=2&&la[y[dep]]<=2)dfs(dep+1,p+1);
    flag[dep]=0;
    la[x[dep]]--; la[y[dep]]--;
    if (!la[x[dep]]) lala--;
    if (!la[y[dep]]) lala--;
}

int main(){
    freopen("lighthouse.in","r",stdin);
    freopen("lighthouse.out","w",stdout);
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for (int i=1;i<=m;i++) scanf("%lld%lld",&x[i],&y[i]);
    for (int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
    jc[0]=1;
    for (LL i=1;i<=n;i++) jc[i]=(jc[i-1]*i)%mo;
    ans=(jc[n-1]*mul(2,mo-2))%mo;
    memset(la,0,sizeof(la));
    dfs(1,0);
    printf("%lld",ans);
}