树

由一个或多个节点组成的有限集合。每一颗树必须有一个特定节点，叫做根节点。根节点下可以有零个以上的子节点。而且各子节点也可以为子树，拥有自己的子节点。

若一棵树中的节点最多可以有n个节点，则称该树为n元树。

n 树的相关名称

u 根节点(root node)：树中没有父节点的节点即为根节点

u 叶节点(leaf node)：没有子节点的节点

u 非叶节点：叶节点以外的节点

u 父节点(parent)和子节点(child)

u 兄弟节点(sibling)：同一个父节点的节点

u 分支度(degree)：每个节点所拥有的子节点个数，树中的最大的分支度值即为该树的分支度

u 阶层(level)：根节点的阶层为1，其子节点为2，依次类推

u 高度和深度：树的最大阶层值即为树的高度或深度

u 祖先(ancestor)：由某子节点到根节点的路径上的所有节点，均称为该节点的祖先

n 二叉树

树的一种，节点最多只能有两个节点

u 由有限个节点组成的集合，集合可以为空

u 根节点下可有两个子树，为左子树和右子树

n 二叉树与树的区别：

n 二叉树可以为空，而树不可以(至少要有根节点)

n 二叉树的子树有顺序关系

n 二叉树的分支度必须为0、1或2，而树的分支度可以大于2

n 二叉树类型：

n 左(右)歪斜树

u 所有节点的左子树均不存在，则此二叉树为右歪斜树

u 反之，则称之为左歪斜树。

n 满二叉树

u 所有叶节点均在同一阶层，其他非叶节点的分支度为2

u 若此树的高度为n，则该树的节点数为2^n - 1.

n 完全二叉树

u 一个二叉树除掉最大阶层后为满二叉树，且最大阶层的节点均向左靠齐。

n 二叉树的节点插入规则：

u 均转换成满二叉树的形式来插入节点数据。

u 对各阶层的节点由低阶层到高阶层，从左至右，由1开始编号，再根据编号将节点数据存入相应索引编号的数组(链表)中

u 如果某编号没有节点存在，则数组对应位置没有值存入。

u 插入的第一个元素为根节点

u 满足左小右大的二叉查找树规则

提问：依次输入数据6，3，8，5，2，9，4，7建立一个二叉树，请描述该二叉树节点的排列次序。

n 二叉树的三种表示法：

数组表示法

    见例题。

优点：

查找容易且每个节点占用空间不大

缺点：

当二叉树的深度和节点数的比例偏高时，会造成空间浪费

数据的插入和删除涉及到移动大量数据的问题

节点数组表示法

包含三个数组：

一个数组存放节点数据内容

一个数组存放左子节点在数组中的下标

一个数组存放右子节点在数组中的下标

见例题

改良后的数组表示法，在插入和删除方面需移动的数据大大减少

链表表示法

在修改二叉树方面效率比数组实现高。

n 二叉树的遍历：

前序遍历(preorder traversal)

先遍历中间节点，再遍历左子树，最后遍历右子树

伪码表示：

If 指向根节点的指针 == null 

Then 此为空树，遍历结束

Else

(1) 处理当前节点

(2) 往左走，递归处理preorder(root ' left)

(3) 往右走，递归处理preorder(root 'right)

中序遍历(inorder traversal)

先遍历左子树，再遍历中间节点，最后遍历右子树

伪码表示：

If 指向根节点的指针 == null 

Then 此为空树，遍历结束

Else

(1)往左走，递归处理preorder(root ' left)

(2)处理当前节点

(3)往右走，递归处理preorder(root 'right)

后序遍历(postorder traversal)

先遍历左子树，再遍历右子树，最后遍历中间节点

伪码表示：

n 二叉树的查找：

先将二叉树转换成二叉查找树，即左小右大，接着可以采用二分查找方式来查找。

对二叉查找树的查找效率高于对非二叉查找树的查找

见例题。

n 二叉树的删除：

见例题。

分为几种情况：

1. 删除节点既无左子树也无右子树

l 根节点

l 非根节点

2. 删除节点有左子树，无右子树

3. 删除节点有右子树，无左子树

4. 删除节点既有左子树，也有右子树