数学计算——判断点B是是否在点A的后面

要判断点 $(B)$ 是否在点 $(A)$ 的后面，我们需要考虑两个点的位置和朝向（yaw 角）。具体来说，点 $(B)$ 是否在点 $(A)$ 的后面，取决于点 $(B)$ 是否位于点 $(A)$ 的朝向的反方向。

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1. 定义问题

• 点 $(A)$ 的坐标为 $((x_1,y_1))$，朝向为 yaw1。
• 点 $(B)$ 的坐标为 $((x_2,y_2))$，朝向为 yaw2。
• 判断点 $(B)$ 是否在点 $(A)$ 的后面。

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2. 计算点 $(B)$ 相对于点 $(A)$ 的位置

首先，计算点 $(B)$ 相对于点 $(A)$ 的向量：
$$\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$$

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3. 计算点 $(A)$ 的朝向向量

点 $(A)$ 的朝向向量可以通过 yaw1 计算：
$$\vec{u}=(\cos (\text{yaw1}),\sin (\text{yaw1}))$$

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4. 判断点 $(B)$ 是否在点 $(A)$ 的后面

点 $(B)$ 是否在点 $(A)$ 的后面，可以通过向量 $(\overrightarrow{AB})$ 和 $(\vec{u})$ 的点积来判断：
$$\text{dot}=\overrightarrow{AB}\cdot \vec{u}$$

• 如果 $(\text{dot}<0)$，则点 $(B)$ 在点 $(A)$ 的后面。
• 如果 $(\text{dot}\ge 0)$，则点 $(B)$ 不在点 $(A)$ 的后面。

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5. 代码实现

以下是 C++ 代码实现：

#include <iostream>
#include <cmath>

// 判断点 B 是否在点 A 的后面
bool isBehind(double x1, double y1, double yaw1, double x2, double y2) {
    // 计算向量 AB
    double dx = x2 - x1;
    double dy = y2 - y1;

    // 计算点 A 的朝向向量
    double ux = cos(yaw1);
    double uy = sin(yaw1);

    // 计算点积
    double dot = dx * ux + dy * uy;

    // 判断点 B 是否在点 A 的后面
    return (dot < 0);
}

int main() {
    // 点 A 的坐标和朝向
    double x1 = 0.0, y1 = 0.0, yaw1 = M_PI / 4;  // 45 度

    // 点 B 的坐标
    double x2 = -1.0, y2 = -1.0;

    // 判断点 B 是否在点 A 的后面
    if (isBehind(x1, y1, yaw1, x2, y2)) {
        std::cout << "点 B 在点 A 的后面" << std::endl;
    } else {
        std::cout << "点 B 不在点 A 的后面" << std::endl;
    }

    return 0;
}

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6. 示例分析

假设：

• 点 $(A)$ 的坐标为 $((0,0))$，朝向为 $(45^{\circ })$（即 yaw1 = π/4）。
• 点 $(B)$ 的坐标为 $((-1,-1))$。

计算：

• 向量 $(\overrightarrow{AB}=(-1,-1))$。
• 点 $(A)$ 的朝向向量 $(\vec{u}=(\cos (45^{\circ }),\sin (45^{\circ }))=(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2))$。
• 点积：
  $$\overrightarrow{AB}\cdot \vec{u}=(-1)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+(-1)\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}<0$$
  因此，点 $(B)$ 在点 $(A)$ 的后面。

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7. 总结

• 通过计算点 $(B)$ 相对于点 $(A)$ 的向量与点 $(A)$ 的朝向向量的点积，可以判断点 $(B)$ 是否在点 $(A)$ 的后面。
• 如果点积为负，则点 $(B)$ 在点 $(A)$ 的后面；否则不在。