南京网络赛J(莫比乌斯函数+分块+容斥)

最新推荐文章于 2021-07-13 16:54:35 发布

qkoqhh

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分类专栏：数论

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qkoqhh/article/details/82319432

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这个线性筛O(n)能过，然而有更快的做法。。

对每个数d，如果d有平方因子，则μ(d)为0，这样 $f(n)=\sum_{d|n}\mu^2(d)\mu^2(\frac{n}{d})$ ，然后

$\sum_{i=1}^{n}f(n)\\= \sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}\mu^2(d)\mu^2(\frac{i}{d})\\= \sum_{i=1}^{n}\mu^2(i)\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor}\mu^2(j)$

接下来就是求 $\mu^2(n)$ 的前缀和了。。

然而好像没有什么好的函数和他做卷积。。。所以杜教筛也用不了了。。

但是这个前缀和其实可以用容斥求的。。

这个前缀和求的是1..n非平方因子的个数，枚举平方因子做容斥，于是有下式

$\sum_{i=1}^{n}\mu^2(i)= \sum_{i=1}^{\sqrt n}\mu(i)\left \lfloor \frac{n}{i^2} \right \rfloor$

(也可以参考窝写过的文章：https://blog.youkuaiyun.com/qkoqhh/article/details/81986169)

然后分块求前缀和，分块算答案，复杂度据说是 $O(n^{\frac{4}{7}})$ ，然而窝并不会算。。

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 */
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<map>
#include<stack>
#include<set>
#include<bitset>
#include<assert.h>
#define inc(i,l,r) for(int i=l;i<=r;i++)
#define dec(i,l,r) for(int i=l;i>=r;i--)
#define link(x) for(edge *j=h[x];j;j=j->next)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define ll long long
#define eps 1e-8
#define succ(x) (1LL<<(x))
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define sqr(x) ((x)*(x))
#define mid ((x+y)/2) 
#define NM 5000005
#define nm 10005
#define N 1000005
#define M(x,y) x=max(x,y)
const double pi=acos(-1);
const ll inf=1e9+7;
using namespace std;
ll read(){
    ll x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return f*x;
}
 



int m,prime[NM],tot,f[NM],mu[NM];
ll _x,b[NM];
bool v[NM];
void init(){
    m=5000000;mu[1]=1;
    inc(i,2,m){
	if(!v[i])prime[++tot]=i,mu[i]=-1;
	inc(j,1,tot){
	    if(i*prime[j]>m)break;
	    v[i*prime[j]]++;
	    if(i%prime[j]==0)break;
	    mu[i*prime[j]]=-mu[i];
	}
    }
    inc(i,1,m)f[i]=f[i-1]+sqr(mu[i]);
    inc(i,1,m)mu[i]=mu[i-1]+mu[i];
}

ll F(ll n){
    if(n<=m)return f[n];
    int t=_x/n;
    if(v[t])return b[t];
    v[t]++;b[t]=0;
    for(ll i=1,j;sqr(i)<=n;i=j+1){
	j=n/(n/i);
	b[t]+=(mu[j]-mu[i-1]+inf)%inf*(n/sqr(i))%inf;b[t]%=inf;
    }
    return b[t];
}


int main(){
    init();
    int _=read();while(_--){
	_x=read();ll ans=0;mem(v);
	for(ll i=1,j;i<=_x;i=j+1){
	    j=_x/(_x/i);
	    ans+=(F(j)-F(i-1)+inf)%inf*F(_x/i)%inf;ans%=inf;
	}
	printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}