本文介绍了深度学习中常用的矩阵和向量的概念，包括它们的表示方法、乘法运算、转置以及内积。还特别讨论了矩阵乘法的表示和计算，以及对角矩阵和迹的概念。这些基础知识对于理解和应用深度学习中的数学原理至关重要。
机器学习特别是深度学习，常常用到偏导数和梯度，一些公式的推导需要用到较深的数学知识，为方便进一步深造的同学学习，
这里我们结合【西瓜书附录第A.2节的导数】学习一些公式和推导技巧。
向量与矩阵
本博不详细讲解向量与矩阵的内容，而是从需要和实用的角度出发，强调一些知识点。
（1）代表元记法
为方便，我们先引入矩阵及向量的代表元记法，即不写出完整的矩阵和向量，而是以其元素的通式来代表，如
A
=
(
a
11
a
12
⋯
a
1
n
a
21
a
22
⋯
a
2
n
⋮
⋮
⋮
⋮
a
m
1
a
m
2
⋯
a
m
n
)
=
(
[
a
i
j
]
i
j
)
m
×
n
\begin{align} \mathbf{A} & = \left(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{matrix}\right)\notag \\ & =\left( \left[a_{ij}\right]_{ij} \right)_{m\times n }\tag{A1} \end{align}
A=
a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋮⋯a1na2n⋮amn
=([aij]ij)m×n(A1)
其中，左边
A
\mathbf{A}
A表示矩阵，右边我们从外往里看：外层小括号“
(
)
m
×
n
(\ )_{m\times n}
( )m×n”表示矩阵，其下标
m
×
n
m\times n
m×n是矩阵的“大小”为
m
m
m行
n
n
n列（通常省略），内层中括号“
[
]
i
j
[\ ]_{ij}
[ ]ij”表示矩阵
i
i
i行
j
j
j列处的元素，两下标以“左行右列”的顺序确定对应元素位置（约定:两个下标变元表示它是矩阵的元素，第一个变元表示行号，第二个表示列号，即“左行右列”；只含一个下标变元时，它表示列向量的元素，其下标表示行号）；当行列下标省略，时通过上下文或习惯（
i
i
i表行
j
j
j表列）确定，中括号内“
a
i
j
a_{ij}
aij”表示通式，实际上是关于
i
,
j
i,j
i,j的一个函数“
a
i
j
=
f
(
i
,
j
)
a_{ij}=f(i,j)
aij=f(i,j)”。
矩阵中指示“行”与“列”的下标，与选用的字母无关，而与字母的“左右位置”有关，这点很重要，我们以矩阵的转置体会下标的“左行右列”的意义：
A
T
=
(
[
a
i
j
]
i
j
)
T
=
(
[
a
i
j
]
j
i
)
（以
j
行
i
列通式表示）
=
(
[
a
j
i
]
i
j
)
（以
i
行
j
列通式表示）
\begin{align} \mathbf{A}^\mathrm{T} & =\left( \left[a_{ij}\right]_{ij} \right)^\mathrm{T}\notag \\ & =\left( \left[a_{ij}\right]_{ji} \right)\qquad \text{（以$j$行$i$列通式表示）} \tag{A2} \\ & =\left( \left[a_{ji}\right]_{ij} \right)\qquad \text{（以$i$行$j$列通式表示）} \tag{A3} \end{align}
AT=([aij]ij)T=([aij]ji)（以j行i列通式表示）=([aji]ij)（以i行j列通式表示）(A2)(A3)
注1：这种“
[
]
i
j
[\ ]_{ij}
[ ]ij”表示矩阵元素的方式是博主首创的，它非常简明，利于处理通式变量与元素位置变量的关系，如，式(A2)、式(A3)。
注2：一般教材为了表达通式将矩阵记为：
A
=
(
(
A
)
i
j
)
\mathbf{A}=((\mathbf{A})_{ij})
A=((A)ij)，这样将位置变量和函数变量混在一起，有时易引起混淆，因为，有时二者的次序并不一致，如，式(A2)、式(A3)。
自然地，当矩阵退化成向量时，有
a
=
(
[
a
i
]
i
)
m
×
1
（矩阵表达）
=
(
[
a
i
]
)
（矩阵表达的简化）
=
(
a
1
;
a
2
;
⋯
;
a
n
)
（列向量表达）
\begin{align} \boldsymbol{a} & =\left( \left[a_{i}\right]_i \right)_{m\times 1 }\qquad \text{（矩阵表达）}\tag{A4} \\ & =\left( \left[a_{i}\right] \right)\qquad \text{（矩阵表达的简化）}\tag{A5} \\ & =(a_1;a_2;\cdots;a_n)\qquad \text{（列向量表达）}\tag{A6} \end{align}
a=([ai]i)m×1（矩阵表达）=([ai])（矩阵表达的简化）=(a1;a2;⋯;an)（列向量表达）(A4)(A5)(A6)
其中，粗体小写
a
\boldsymbol{a}
a表示（列）向量（通常所说的向量默认是指列向量，行向量为列向量的转置），中括号下标
i
i
i表示列向量的第
i
i
i个元素，通常省略，通式
a
i
a_{i}
ai表示以变量为
i
i
i的一个式子，括号外的
m
×
1
m\times 1
m×1是向量的“大小”（通常省略），表示向量有
m
m
m个元素。
行向量用列向量的转置来表示
a
T
=
(
[
a
i
]
i
)
m
×
1
T
（矩阵表达）
=
(
[
a
i
]
)
T
（矩阵表达的简化）
=
(
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
)
（行向量表达）
\begin{align} \boldsymbol{a}^\mathrm{T} & =\left( \left[a_{i}\right]_i \right)_{m\times 1 }^\mathrm{T}\qquad \text{（矩阵表达）}\tag{A7} \\ & =\left( \left[a_{i}\right] \right)^\mathrm{T}\qquad \text{（矩阵表达的简化）}\tag{A8} \\ & =(a_1,a_2,\cdots,a_n)\qquad \text{（行向量表达）}\tag{A9} \end{align}
aT=([ai]i)m×1T（矩阵表达）=([ai])T（矩阵表达的简化）=(a1,a2,⋯,an)（行向量表达）(A7)(A8)(A9)
其中，
i
i
i为通式的变量，矩阵在转置前为一列（
m
×
1
{m\times 1 }
m×1），转置后为一行（
1
×
m
{1\times m }
1×m）。
（2）乘法
a
T
a
\boldsymbol{a}^\mathrm{T}\boldsymbol{a}
aTa为标量
∣
∣
a
∣
∣
2
2
||\boldsymbol{a}||^2_2
∣∣a∣∣22，
a
T
b
\boldsymbol{a}^\mathrm{T}\boldsymbol{b}
aTb称为向量
a
\boldsymbol{a}
a与
b
\boldsymbol{b}
b的内积
a
T
b
=
∑
i
=
1
n
a
i
b
i
\begin{align} \boldsymbol{a}^\mathrm{T}\boldsymbol{b}=\sum_{i=1}^na_{i}b_{i} \tag{A10} \end{align}
aTb=i=1∑naibi(A10)
而
a
a
T
\boldsymbol{a}\boldsymbol{a}^\mathrm{T}
aaT却为矩阵
a
a
T
=
(
[
a
i
]
)
(
[
a
i
]
)
T
=
(
[
a
i
a
j
]
i
j
)
\begin{align} \boldsymbol{a}\boldsymbol{a}^\mathrm{T} & =\left( \left[a_{i}\right] \right) \left( \left[a_{i}\right] \right)^\mathrm{T}\notag \\ & =\left( \left[a_{i}a_{j}\right]_{ij} \right) \tag{A11} \end{align}
aaT=([ai])([ai])T=([aiaj]ij)(A11)
更一般地，有
a
b
T
=
(
[
a
i
b
j
]
i
j
)
\begin{align} \boldsymbol{a}\boldsymbol{b}^\mathrm{T} & =\left( \left[a_{i}b_{j}\right]_{ij} \right) \tag{A12} \end{align}
abT=([aibj]ij)(A12)
矩阵可视为列向量（或行向量）组成，如视为列向量，则
X
=
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
X
T
=
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
T
=
(
x
1
T
;
x
2
T
;
⋯
;
x
n
T
)
\begin{align} \mathbf{X} & =(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_n)\tag{A13} \\ \mathbf{X}^\mathrm{T} & =(\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\cdots,\boldsymbol{x}_n)^\mathrm{T}\notag \\ & =(\boldsymbol{x}_1^\mathrm{T};\boldsymbol{x}_2^\mathrm{T};\cdots;\boldsymbol{x}_n^\mathrm{T}) \tag{A14} \end{align}
XXT=(x1,x2,⋯,xn)=(x1,x2,⋯,xn)T=(x1T;x2T;⋯;xnT)(A13)(A14)
注意：式(A14)中包含两层转置：第一层是“括号(\ )”中逗号（或空格）变分号"
;
;
;"（一行变为一列），第二层是每个向量
x
i
\boldsymbol{x}_i
xi都转置为
x
i
T
\boldsymbol{x}_i^\mathrm{T}
xiT。
我们再用上述代表元记法表示矩阵乘法：
A
B
=
(
[
a
i
k
]
)
(
[
b
k
j
]
)
=
(
[
∑
k
=
1
n
a
i
k
b
k
j
]
i
j
)
=
(
[
a
i
⋅
b
⋅
j
]
i
j
)
（由式(A10)）
\begin{align} \mathbf{AB} & =\left( \left[ a_{ik} \right] \right) \left( \left[ b_{kj} \right] \right)\notag \\ & =\left( \left[ \sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj} \right]_{ij} \right) \tag{A15} \\ & =\left( \left[ \boldsymbol{a}_{i\cdot}\boldsymbol{b}_{\cdot j} \right]_{ij} \right)\quad \text{（由式(A10)）} \tag{A16} \end{align}
AB=([aik])([bkj])=
[k=1∑naikbkj]ij
=([ai⋅b⋅j]ij)（由式(A10)）(A15)(A16)
其中，
a
i
⋅
\boldsymbol{a}_{i\cdot }
ai⋅为矩阵
A
\mathbf{A}
A的第
i
i
i行（向量）、
b
⋅
j
\boldsymbol{b}_{\cdot j}
b⋅j为矩阵
B
\mathbf{B}
B的第
j
j
j列（向量），这就是通常所说的矩阵乘法为“
i
i
i行乘
j
j
j列”。 “大小”有限定（乘的元素相配：
A
\mathbf{A}
A的列数等于
B
\mathbf{B}
B的行数）：若
A
\mathbf{A}
A的“大小”为
r
×
s
r\times s
r×s， 则
B
\mathbf{B}
B的“大小”应为
s
×
t
s\times t
s×t，积的“大小”为
r
×
t
r\times t
r×t（记忆：取两端，消中间，即
(
r
×
s
)
×
(
s
×
t
)
(r\times s)\times(s\times t)
(r×s)×(s×t)得
(
r
×
t
)
(r\times t)
(r×t)）。
式(A15)中，当
b
\boldsymbol{b}
b退化为向量时，有
A
b
=
(
[
a
i
k
]
)
(
[
b
k
]
)
=
(
[
∑
k
=
1
n
a
i
k
b
k
]
)
\begin{align} \mathbf{A}\boldsymbol{b} =\left( \left[ a_{ik} \right] \right) \left( \left[ b_{k} \right] \right) =\left( \left[ \sum_{k=1}^na_{ik}b_{k} \right] \right) \tag{A17} \end{align}
Ab=([aik])([bk])=([k=1∑naikbk])(A17)
即矩阵乘以向量，得到一个向量，“大小”有限定：若
A
\mathbf{A}
A的“大小”为
m
×
n
m\times n
m×n， 则
b
\boldsymbol{b}
b的“大小”应为
n
×
1
n\times 1
n×1，积的“大小”为
m
×
1
m\times 1
m×1。
式(A17)中，当
b
=
1
\boldsymbol{b}=\boldsymbol{1}
b=1（元素全为1的向量）时，有
A
1
=
(
[
∑
k
=
1
n
a
i
k
]
)
\begin{align} \mathbf{A}\boldsymbol{1} =\left( \left[ \sum_{k=1}^na_{ik} \right] \right) \tag{A18} \end{align}
A1=([k=1∑naik])(A18)
即为矩阵
A
\mathbf{A}
A各行“小计”形成的向量。
式(A15)中，当
B
=
A
T
\mathbf{B}=\mathbf{A}^{\mathrm{T}}
B=AT时，有
A
A
T
=
(
[
∑
k
=
1
n
a
i
k
a
k
j
]
i
j
)
\begin{align} \mathbf{A}\mathbf{A}^{\mathrm{T}} & =\left( \left[ \sum_{k=1}^na_{ik}a_{kj} \right]_{ij} \right) \tag{A19} \end{align}
AAT=
[k=1∑naikakj]ij
(A19)
矩阵
A
\mathbf{A}
A以列向量表示时，
A
=
(
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
)
\mathbf{A}=(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_n)
A=(a1,a2,⋯,an)，则式(A19)变为
A
A
T
=
(
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
)
(
a
1
T
;
a
2
T
;
⋯
;
a
n
T
)
（由式(A14)）
=
∑
i
=
1
n
a
i
a
i
T
\begin{align} \mathbf{A}\mathbf{A}^{\mathrm{T}} & =(\boldsymbol{a}_1,\boldsymbol{a}_2,\cdots,\boldsymbol{a}_n)(\boldsymbol{a}_1^{\mathrm{T}};\boldsymbol{a}_2^{\mathrm{T}};\cdots;\boldsymbol{a}_n^{\mathrm{T}})\quad \text{（由式(A14)）}\notag \\ & =\sum_{i=1}^n\boldsymbol{a}_i\boldsymbol{a}_i^{\mathrm{T}} \tag{A20} \end{align}
AAT=(a1,a2,⋯,an)(a1T;a2T;⋯;anT)（由式(A14)）=i=1∑naiaiT(A20)
其中，
a
i
a
i
T
\boldsymbol{a}_i\boldsymbol{a}_i^{\mathrm{T}}
aiaiT由式(A11)计算。
前面都是将矩阵化为其通式，也可以反过来用：已知通式关系式写出对应的矩阵关系式，我们来看一例
(
1
+
μ
)
f
k
q
=
∑
j
=
1
l
+
u
s
j
k
f
j
q
+
μ
y
k
q
\begin{align} (1+\mu )f^q_k=\sum_{j=1}^{l+u}s^k_jf^q_j+\mu y^q_k \tag{A21} \end{align}
(1+μ)fkq=j=1∑l+usjkfjq+μykq(A21)
则
(
1
+
μ
)
(
[
f
k
q
]
k
q
)
=
(
[
∑
j
=
1
l
+
u
s
j
k
f
j
q
]
k
q
)
+
μ
(
[
y
k
q
]
k
q
)
=
(
[
s
j
k
]
k
j
)
(
[
f
j
q
]
j
q
)
+
μ
(
[
y
k
q
]
k
q
)
（由式(A15)）
即：
(
1
+
μ
)
F
=
S
F
+
μ
Y
\begin{align} (1+\mu )([f^q_k]_{kq}) & =([\sum_{j=1}^{l+u}s^k_jf^q_j]_{kq})+\mu ([y^q_k]_{kq})\notag \\ & =([s^k_j]_{kj}) ([f^q_j]_{jq}) +\mu ([y^q_k]_{kq}) \quad \text{（由式(A15)）}\notag \\ \text{即：} \notag \\ (1+\mu )\mathbf{F} & =\mathbf{S}\mathbf{F}+\mu \mathbf{Y} \tag{A22} \end{align}
(1+μ)([fkq]kq)即：(1+μ)F=([j=1∑l+usjkfjq]kq)+μ([ykq]kq)=([sjk]kj)([fjq]jq)+μ([ykq]kq)（由式(A15)）=SF+μY(A22)
注意：矩阵相乘没有交换律，例如：
(
A
−
B
)
(
A
−
B
)
T
=
(
A
−
B
)
(
A
T
−
B
T
)
=
A
A
T
−
A
B
T
−
B
A
T
+
B
B
T
\begin{align} (\mathbf{A}-\mathbf{B})(\mathbf{A}-\mathbf{B})^\mathrm{T} & =(\mathbf{A}-\mathbf{B})(\mathbf{A}^\mathrm{T}-\mathbf{B}^\mathrm{T})\notag \\ & =\mathbf{A}\mathbf{A}^\mathrm{T}-\mathbf{A}\mathbf{B}^\mathrm{T}-\mathbf{B}\mathbf{A}^\mathrm{T}+\mathbf{B}\mathbf{B}^\mathrm{T} \tag{A23} \end{align}
(A−B)(A−B)T=(A−B)(AT−BT)=AAT−ABT−BAT+BBT(A23)
式(A23)中，当
B
=
I
\mathbf{B}=\mathbf{I}
B=I时，有
(
A
−
I
)
(
A
−
I
)
T
=
A
A
T
−
A
−
A
T
+
I
\begin{align} (\mathbf{A}-\mathbf{I})(\mathbf{A}-\mathbf{I})^\mathrm{T} & =\mathbf{A}\mathbf{A}^\mathrm{T}-\mathbf{A}-\mathbf{A}^\mathrm{T}+\mathbf{I} \tag{A24} \end{align}
(A−I)(A−I)T=AAT−A−AT+I(A24)
式(A24)中，当
A
\mathbf{A}
A对称时，有
(
A
−
I
)
2
=
A
2
−
2
A
+
I
\begin{align} (\mathbf{A}-\mathbf{I})^2 & =\mathbf{A}^2-2\mathbf{A}+\mathbf{I} \tag{A25} \end{align}
(A−I)2=A2−2A+I(A25)
式(A23)中，当矩阵退化成向量时，有
(
a
−
b
)
(
a
−
b
)
T
=
a
a
T
−
a
b
T
−
b
a
T
+
b
b
T
\begin{align} (\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})^\mathrm{T} & =\boldsymbol{a}\boldsymbol{a}^\mathrm{T}-\boldsymbol{a}\boldsymbol{b}^\mathrm{T}-\boldsymbol{b}\boldsymbol{a}^\mathrm{T}+\boldsymbol{b}\boldsymbol{b}^\mathrm{T} \tag{A26} \end{align}
(a−b)(a−b)T=aaT−abT−baT+bbT(A26)
式(A26)中各项由式(A12)和式(A11)计算，结果为一个矩阵.
在涉及概率问题中，我们常用到 ( x − μ ) T ( x − μ ) (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu })^\mathrm{T}(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu }) (x−μ)T(x−μ)和 ( x − μ ) ( x − μ ) T (\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu })(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{\mu })^\mathrm{T} (x−μ)(x−μ)T以及 ( x i − μ ) T ( x j − μ ) (\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\mu })^\mathrm{T}(\boldsymbol{x}_j-\boldsymbol{\mu }) (xi−μ)T(xj−μ)和 ( x i − μ ) ( x j − μ ) T (\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\mu })(\boldsymbol{x}_j-\boldsymbol{\mu })^\mathrm{T} (xi−μ)(xj−μ)T。
（3）对角矩阵
用一个向量的元素去取代单位矩阵对角线上的1，称为对角矩阵：
Λ
d
i
a
g
=
d
i
a
g
(
λ
1
,
λ
2
,
⋯
,
λ
n
)
=
(
λ
1
λ
2
⋱
λ
n
)
\begin{equation} \boldsymbol{\Lambda }_{\mathrm{diag}}=\mathrm{diag}(\lambda _1,\lambda _2,\cdots,\lambda _n)= \left(\begin{matrix} \lambda _1 & & & \\ & \lambda _2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda _n \\ \end{matrix}\right) \tag{A27} \end{equation}
Λdiag=diag(λ1,λ2,⋯,λn)=
λ1λ2⋱λn
(A27)
式(A15)中若有一个为对角矩阵时，则“和式
∑
k
=
1
n
\sum_{k=1}^n
∑k=1n”变成一项了
Λ
d
i
a
g
X
=
(
[
λ
i
x
i
j
]
i
j
)
=
(
λ
i
x
i
⋅
)
X
Λ
d
i
a
g
=
(
[
x
i
j
λ
j
]
i
j
)
=
(
λ
j
x
⋅
j
)
\begin{align} \boldsymbol{\Lambda }_{\mathrm{diag}}\mathbf{X} & =([\lambda _ix_{ij}]_{ij}) \tag{A28} \\ & =(\lambda _i\boldsymbol{x}_{i\cdot}) \tag{A29} \\ \mathbf{X}\boldsymbol{\Lambda }_{\mathrm{diag}} & =([x_{ij}\lambda _j]_{ij}) \tag{A30} \\ & =(\lambda _j\boldsymbol{x}_{\cdot j}) \tag{A31} \end{align}
ΛdiagXXΛdiag=([λixij]ij)=(λixi⋅)=([xijλj]ij)=(λjx⋅j)(A28)(A29)(A30)(A31)
式(A29)说明矩阵左乘对角矩阵等同于矩阵各行分别乘一个数，式(A31)说明矩阵右乘对角矩阵等同于矩阵各列分别乘一个数.
由式(A28)、式(A30)有
U
d
i
a
g
X
V
d
i
a
g
=
(
[
u
i
x
i
j
v
j
]
i
j
)
\begin{equation} \mathbf{U }_{\mathrm{diag}}\mathbf{X}\,\mathbf{V }_{\mathrm{diag}}= ([u_ix_{ij}v_j]_{ij}) \tag{A32} \end{equation}
UdiagXVdiag=([uixijvj]ij)(A32)
（4）迹
常常用到矩阵的迹，迹定义为矩阵主对角线上元素之和（在方阵上定义迹），即
t
r
(
A
)
=
∑
i
=
1
n
a
i
i
\begin{align} \mathrm{tr}\,(\mathbf{A})=\sum_{i=1}^na_{ii} \tag{A33} \end{align}
tr(A)=i=1∑naii(A33)
它是自变量为矩阵的标量函数，它有【西瓜书附录式(A.5)
∼
\,\thicksim
∼(A.8)】的性质。
t r ( A B ) = t r ( [ ∑ i = 1 n a s i b i t ] ) （由式(A15)） = ∑ j = 1 n ∑ i = 1 n a j i b i j （由式(A33)） \begin{align} \mathrm{tr}\,(\mathbf{AB}) & = \mathrm{tr}\, \left( [\sum_{i=1}^na_{si}b_{it}] \right)\qquad \text{（由式(A15)）}\notag \\ & = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^na_{ji}b_{ij} \qquad \text{（由式(A33)）} \tag{A34} \end{align} tr(AB)=tr([i=1∑nasibit])（由式(A15)）=j=1∑ni=1∑najibij（由式(A33)）(A34)
我们看看迹的有趣的例子：
当
B
=
1
\mathbf{B}=\mathbf{1}
B=1（元素全为1的矩阵）时，式(A34)变为
t
r
(
A
1
)
=
∑
j
=
1
n
∑
i
=
1
n
a
j
i
\begin{align} \mathrm{tr}\,(\mathbf{A1}) & = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^na_{ji} \tag{A35} \end{align}
tr(A1)=j=1∑ni=1∑naji(A35)
这时的迹是矩阵中所有元素之和。
当
B
=
A
T
\mathbf{B}=\mathbf{A}^\mathrm{T}
B=AT时，式(A34)变为
t
r
(
A
A
T
)
=
∑
j
=
1
n
∑
i
=
1
n
a
j
i
2
\begin{align} \mathrm{tr}\,(\mathbf{A}\mathbf{A}^\mathrm{T}) & = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^na_{ji}^2 \tag{A36} \end{align}
tr(AAT)=j=1∑ni=1∑naji2(A36)
这时的迹是矩阵中所有元素的平方和。
如下式(A37)、式(A38)表明：虽然矩阵没有交换律，但迹相等（主对角线上的元素相等）
{
A
T
A
≠
A
A
T
t
r
(
A
T
A
)
=
t
r
(
A
A
T
)
\begin{align} \begin{cases} \mathbf{A}^\mathrm{T}\mathbf{A}\neq \mathbf{A}\mathbf{A}^\mathrm{T} \\ \mathrm{tr}\,(\mathbf{A}^\mathrm{T}\mathbf{A}) = \mathrm{tr}\,(\mathbf{A}\mathbf{A}^\mathrm{T}) \\ \end{cases} \tag{A37} \end{align}
{ATA=AATtr(ATA)=tr(AAT)(A37)
{
A
B
≠
B
A
t
r
(
A
B
)
=
t
r
(
B
A
)
\begin{align} \begin{cases} \mathbf{A}\mathbf{B}\neq \mathbf{B}\mathbf{A} \\ \mathrm{tr}\,(\mathbf{A}\mathbf{B}) = \mathrm{tr}\,(\mathbf{B}\mathbf{A}) \\ \end{cases} \tag{A38} \end{align}
{AB=BAtr(AB)=tr(BA)(A38)
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