常用排序算法的时间复杂度

前言

本篇不深究算法，旨在让大家对时间复杂度有一个直观感受，在面对代码时，能做到一个大概的判断。

各种时间复杂度的直观比较

$$O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n^2)<O(n^3)<O(2^n)<O(n!)<O(n^n)$$

O(1) — 常数复杂度
O(log n) — 对数复杂度
O(n) — 线性复杂度
O(n log n) — 对数线性复杂度
O(nᵏ) — 多项式复杂度
O(kⁿ) — 指数复杂度
O(n!) — 阶乘复杂度

随着输入规模的增长，红色阴影区域中算法的运行时间急剧增长。另一方面，在黄色和绿色阴影区域中的算法，当输入规模增长时，运行时间在变化不是很大，因此它们更高效，处理大量数据时更游刃有余。

各种时间复杂度的场景

1. O(1) — 常数复杂度
   这种复杂度的算法的运行时间不会随着输入规模的增加而增加。
   场景
   数组中按索引查找值，或者在哈希表中按键查找值

2. O(log n) — 对数复杂度
   这是一种用于在有序数组中查找特定值的算法，每次降低一半的范围（以1/2的速度递减）
   场景
   二分搜索

3. O(n) — 线性复杂度
   线性复杂度，随着输入规模增加，而线性增长
   场景
   数组遍历

4. O(n log n) — 对数线性复杂度
   同时包含对数和线性部分
   场景
   常见的示例是排序算法
   归并排序
   跳表，然后二分查找

5. O(nᵏ) — 多项式复杂度
   在这里，我们开始着手研究时间复杂度较差的算法，通常应尽可能避免使用它（请参考上文的图表，我们正处于红色区域！）。但是，许多「暴力」算法都属于多项式复杂度，可以作为帮助我们解决问题的切入点。例如：O(n²)
   场景
   双层循环

6. O(kⁿ) — 指数复杂度
   倒数第二个常见时间复杂度是指数复杂度
   即随着输入规模的增加，运行时间将按固定倍数来增长，
   规模每+1，复杂度是原来的指数
   即逻辑处理上，有分裂（分治）处理
   场景
   求斐波那契数列中的第n项，递归

def nth_fibonacci_term(n: int) -> int:
    """递归计算斐波纳契数列的第 n 项。假设 n 是整数。"""
    # 基本情况 —— 前两项的值为 {0，1}
    if n <= 2:
        return n - 1

    return nth_fibonacci_term(n - 1) + nth_fibonacci_term(n - 2)

7. O(n!) — 阶乘复杂度
   通常应避免这中复杂度，因为随着输入规模的增加，它们会很快变得难以运行。
   场景
   旅行推销员问题的暴力解法

常用排序算法的时间复杂度

参考文章

《各种排序算法复杂度比较》
《Markdown系列（6）- 如何优雅地在Markdown中输入数学公式》
《算法中七种常见的时间复杂度》 （强力推荐这篇原文）