Lecture Note - 北大 - 算法设计与分析 Design and Analysis of Algorithms - Wanling Qu

第一周作业

Question 7

下表给出 5 组 $f(n)$ 和 $g(n)$ 函数

$$\begin{equation} \begin{split} & \quad f(n) & \quad g(n) \\ 1 & \quad 2 n^3 + 3n & \quad 100 n^2 + 2n + 100 \\ 2 & \quad 50 n + \log n & \quad 10 n + \log \log n \\ 3 & \quad 50 n \log n & \quad 10 n \log \log n \\ 4 & \quad \log n & \quad \log^2 n \\ 5 & \quad n! & \quad 5^n \end{split} \end{equation}$$
使得 $f(n) = O (g(n))$ 成立的组号（从小到大排列）是：
24

Question 8

使得 $f(n)=\Omega(g(n))$ 成立的组号从小到大排列是（格式同上一题）：
1235

Question 10

使得 $f(n)=\Theta(g(n))$ 成立的组号从小到大排列是（格式同上一题）：
2

Slide - 011序列求和的方法

调和级数

调和级数（英语：Harmonic series）是一个发散的无穷级数，表达式为：

$$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} = 1 + \frac12 + \frac13 + \frac14 + \cdots$$
第n个调和数与n的自然对数的差值（即 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln n$）收敛于欧拉-马歇罗尼常数。

二分检索平均时间复杂度

结点数总共为 $n = 2^k - 1$。
在前 $k - 1$ 次检索成功，有 $1$ 个元素第 $1$ 次检索成功，有 $2$ 个元素第 $2$ 次检索成功，有 $3$ 个元素第 $3$ 次比较成功，依次类推，有 $2^{t-1}$ 个元素第 $t$ 次检索成功。
而在第 $k$ 次的比较中，有 $2^{k-1}$ 个元素可能检索成功，还可能会有 $n + 1$ 个元素检索不成功。
所以会有 Slide 中所示的计算方法。

第二周作业

Question 1

可用数学归纳法证明：

$$\begin{equation} \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n (n+1) (2n+1)}{6} \end{equation}$$

Question 2

递推式应该为：

$$T(n) = \log n + \log (n-1) + \log (n-2) + \cdots + \log 1$$
推测 $T(n)$ 的阶应该是 $\Theta (n \log n)$。

Question 3

根据主定理，$T(n)$ 的阶是 $\Theta (n^{\log_2 7})$，$W(n)$ 的阶 $\Theta (n^{\log_4 a})$ 应该不超过 $T(n)$ 的阶，即 $n^{\log_4 a} \leqslant n^{\log_2 7}$，可解出最大的 $a = 48$。

Question 4

由主定理可知，$T(n) = \Theta (n^2)$