希尔排序详解-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qiruiduni/article/details/38067625

package com.qirui.algorithm.sort;

/**   
 * @Description: 希尔排序
 * 希尔排序是插入排序的一种更高效的改进版本，它是基于插入排序的以下两点性质而提出改进方法的：
 * 1、插入排序在对几乎已经排序好的序列操作时，效率高，可以达到线性排序的效率。
 * 2、插入排序一般来说是低效的，因为它每次只能移动一位。
 * 
 * 希尔排序是将待排序的序列按指定步长分为若干个子序列，分别对子序列做插入排序，步长越来越小，直到步长为1，
 * 最后以1步长对序列做插进入排序，此时，需排序的数据几乎已经排好了（此时插入排序较快）
 */
public class ShellSort {

	private static void shellSort(int[] a) {
	    int h = 1;
	    while (h < a.length / 3) {
	          h = h*3 + 1;    // <O(n^(3/2)) by Knuth,1973>: 1, 4, 13, 40, 121, ...
	    }
	    
	    for(; h >= 1; h /= 3) {	// 步长
	        for(int k = 0; k < h; k++) {	// 遍历子序列
	            for(int i = h + k; i < a.length; i += h) {	// 相邻序列
	            	// 比较，如果当前位置的元素小于前面的同位置的元素，则交换
	            	// 此处类似于插入排序
	                for(int j = i; j >= h && a[j] - a[j - h] < 0; j -= h) {
	                   int tmp = a[j];
	                   a[j] = a[j - h];
	                   a[j - h] = tmp;
	                }
	            }
	        }
	    }
	}
	
	public static void main(String[] args) {
		int[] a = {49, 38, 65, 97, 76, 13, 27, 49, 78, 34, 12, 64, 5, 4, 62, 99, 98, 54, 56, 17, 18, 23, 34, 15, 35, 25, 53, 51};
		
		System.out.println("----------before sort----------");
		
		for(int m = 0; m < a.length; m++) {
			System.out.print(a[m] + ", ");
		}
		System.out.println();
		
		shellSort(a);
		
		System.out.println("----------after sort----------");
		
		for(int m = 0; m < a.length; m++) {
			System.out.print(a[m] + ", ");
		}
	}
	
}

一个更好理解的希尔排序实现：将数组列在一个表中并对列排序（用插入排序）。重复这过程，不过每次用更长的列来进行。最后整个表就只有一列了。将数组转换至表是为了更好地理解这算法，算法本身仅仅对原数组进行排序（通过增加索引的步长，例如是用i += step_size而不是i++）。

例如，假设有这样一组数[ 13 14 94 33 82 25 59 94 65 23 45 27 73 25 39 10 ]，如果我们以步长为5开始进行排序，我们可以通过将这列表放在有5列的表中来更好地描述算法，这样他们就应该看起来是这样：

13 14 94 33 82
25 59 94 65 23
45 27 73 25 39
10

然后对每列进行排序：

10 14 73 25 23
13 27 94 33 39
25 59 94 65 82
45

将上述四行数字，依序接在一起时我们得到：[ 10 14 73 25 23 13 27 94 33 39 25 59 94 65 82 45 ].这时10已经移至正确位置了，然后再以3为步长进行排序：

排序之后变为：

最后以1步长进行排序（此时就是简单的插入排序了）。

步长

步长的选择是希尔排序的重要部分。只要最终步长为1任何步长串行都可以工作。算法最开始以一定的步长进行排序。然后会继续以一定步长进行排序，最终算法以步长为1进行排序。当步长为1时，算法变为插入排序，这就保证了数据一定会被排序。

Donald Shell 最初建议步长选择为 $\frac{n}{2}$ 并且对步长取半直到步长达到 1。虽然这样取可以比 $\mathcal{O}(n^2)$ 类的算法（插入排序）更好，但这样仍然有减少平均时间和最差时间的余地。可能希尔排序最重要的地方在于当用较小步长排序后，以前用的较大步长仍然是有序的。比如，如果一个数列以步长5进行了排序然后再以步长3进行排序，那么该数列不仅是以步长3有序，而且是以步长5有序。如果不是这样，那么算法在迭代过程中会打乱以前的顺序，那就不会以如此短的时间完成排序了。

步长串行	最坏情况下复杂度
${n/2^i}$	$\mathcal{O}$ $(n^2)$
$2^k - 1$	$\mathcal{O}$ $(n^{3/2})$
$2^i 3^j$	$\mathcal{O}$ $( n\log^2 n )$

已知的最好步长串行是由Sedgewick提出的 (1, 5, 19, 41, 109,...)，该串行的项来自 9 * 4^i - 9 * 2^i + 1 和 4^i - 3 * 2^i + 1 这两个算式.这项研究也表明“比较在希尔排序中是最主要的操作，而不是交换。”用这样步长串行的希尔排序比插入排序和堆排序都要快，甚至在小数组中比快速排序还快，但是在涉及大量数据时希尔排序还是比快速排序慢。

另一个在大数组中表现优异的步长串行是(斐波那契数列除去0和1将剩余的数以黄金分区比的两倍的幂进行运算得到的数列)：（1, 9, 34, 182, 836, 4025, 19001, 90358, 428481, 2034035, 9651787, 45806244, 217378076, 1031612713, …）