<think>好的，我现在需要解决用户的问题：找到一个算法，对于数组中的每个元素，在移除该元素后，确定剩余数组中最小的缺失非负整数。首先，我得仔细理解这个问题。
用户的需求是，对于数组中的每一个元素，当移除该元素之后，剩下的数组中最小的非负整数是什么。例如，假设原数组是[0,1,3]，当移除第一个元素0后，剩下的数组是[1,3]，此时最小的缺失非负整数是0；如果移除第二个元素1，剩下的数组是[0,3]，此时最小的缺失是1；移除第三个元素3的话，剩下的是[0,1]，最小缺失是2。所以对于每个元素，都要计算对应的结果。
首先，我需要考虑如何高效地计算每个元素被移除后的最小缺失数。最直接的思路是，对于数组中的每个元素，遍历数组，排除当前元素后，生成一个新数组，然后计算这个新数组的最小缺失非负整数。但这样的时间复杂度是O(n^2)，当数组很大时，这样的方法效率会很低，可能不适用。
所以，我需要想有没有更高效的方法。最小缺失非负整数的计算通常可以通过哈希集合或者排序来处理。例如，对于原数组的最小缺失数，可以将数组元素存入集合，然后从0开始逐个检查，找到第一个不在集合中的数。或者，先对数组排序，然后遍历排序后的数组，找到第一个不在正确位置的非负整数。
但在这个问题中，每个元素被移除后的数组都是不同的，所以需要针对每个可能的子数组计算最小缺失数。如果每次都重新计算，时间复杂度确实很高。有没有办法预处理一些信息，从而减少重复计算？
比如，假设原数组的最小缺失数是M。当移除一个元素时，如果这个元素的值大于等于M，那么移除它不会影响当前的最小缺失数，所以新的最小缺失数仍然是M。但如果移除的元素是小于M且存在于原数组中的某个数，那么有可能导致新的缺失数变小。例如，原数组是[0,1,3]，原最小缺失数是2。如果移除0，那么剩下的数组是[1,3]，此时0就变成了缺失的，所以新的最小缺失数是0，比原来的M更小。这种情况下，移除的元素是小于原M的，并且这个元素是否是原数组中唯一的存在于0到M-1之间的某个数？
所以，这个问题的关键在于，当移除一个元素x时，如果x是原数组中在0到M-1之间的元素，并且x在原数组中只出现一次，那么移除x之后，x所在的这个位置可能成为新的缺失数。否则，如果x在原数组中出现了多次，或者x不在0到M-1之间，那么移除它可能不会改变最小缺失数。
那如何高效地处理每个元素的移除情况呢？
首先，我需要计算原数组的最小缺失数M。然后，对于每个元素x：
- 如果x >= M，那么移除x后的最小缺失数仍然是M。
- 如果x < M，并且原数组中x出现的次数大于1，那么移除一个x后，剩下的数组中仍然存在x，所以此时最小缺失数仍然是M。
- 如果x < M，并且原数组中x出现的次数等于1，那么移除x之后，x这个数就不存在了，所以需要检查此时新的最小缺失数是否变成了x。此时需要重新计算新的最小缺失数。
但如何快速确定在移除x后的数组中是否包含所有0到M-1的数？
或者，可以预处理数组中每个数的出现次数，然后当移除某个x时，如果x的出现次数是1并且x < M，那么新的最小缺失数可能是x，或者需要重新计算。
这似乎有些复杂。或许可以优化计算M，并记录哪些数在0到M-1之间是唯一的。
另一个思路是，预先计算数组中每个数的出现次数，然后找到原数组的最小缺失数M。然后，对于每个元素x：
- 如果x >= M，那么结果就是M。
- 如果x < M，并且出现次数大于1，结果还是M。
- 如果x < M，并且出现次数等于1，那么需要检查移除x后的数组中是否0到M-1的每个数都存在。如果存在，则结果仍然是M；否则，结果为x，或者更小的某个数。
这种情况下，当移除一个唯一的x（x < M）时，需要确认数组中是否还包含所有0到M-1之间的数，除了x。此时，最小缺失数可能变成x，或者如果原来数组中有比x更小的缺失数吗？例如，原数组的M是2，那么0和1都存在。如果移除其中一个，比如移除0，那么此时M变为0。如果原数组的M是3，移除1的话，那么新的数组是否包含0、1、2？如果移除1之后，数组中还有0和2吗？
可能需要重新计算在这种情况下的最小缺失数。但如何高效地处理这种情况？
比如，原数组的最小缺失数M是3，即0、1、2都存在。当移除一个元素x=1，且x的出现次数是1，那么移除后，数组中0存在吗？2存在吗？假设存在的话，此时的最小缺失数变成1。否则，如果比如移除的是0，但原数组中的0出现次数是1，那么移除后的数组中0不存在，所以最小缺失数是0。
所以在这种情况下，当x < M且x的出现次数是1时，移除后的最小缺失数是x，因为原来的M是基于0到M-1都存在的条件。但此时，移除x后，x不存在，所以x一定小于M，所以新的最小缺失数是x吗？
例如，原数组的M是3，x=1，且出现次数为1。移除后，数组中的0、2都存在，但1不存在。此时，最小缺失数是1，因为0存在，所以检查从0开始，0存在，下一个是1，不存在，所以答案是1。
那是否当原数组的M是k，而x在0到k-1之间且出现次数是1时，移除后的最小缺失数就是x？
是的。因为原数组的最小缺失数是k，说明0到k-1都至少出现一次。当移除一个x属于0到k-1之间，并且出现次数为1，那么移除后x不再存在，因此此时的最小缺失数就是x。比如，原数组包含0,1,2，M=3。移除1之后，数组包含0,2，此时最小缺失是1。所以这种情况下，移除后的最小缺失数就是x。但是如果原数组中的某些数在0到k-1之间出现多次，那移除其中一个可能不影响。例如，原数组是0,0,1,2，M=3。当移除其中一个0时，剩下的数组中还有0存在，所以此时的最小缺失数仍然是3。所以这时候需要判断该元素x的出现次数是否为1。
综上，算法的大致步骤可能是：
1. 预处理原数组的最小缺失数M，并记录每个数出现的次数。
2. 对于数组中的每个元素x：
a. 如果x >= M，那么移除后的最小缺失数是M。
b. 如果x < M，并且出现次数>1，那么移除后的最小缺失数是M。
c. 如果x < M，并且出现次数=1，那么移除后的最小缺失数是x。
这样是否正确？
那这样的话，问题就变得高效了，因为只需要计算原数组的M，统计各数的出现次数，然后对每个元素进行判断即可。时间复杂度是O(n)预处理，然后每个元素处理是O(1)，总时间复杂度O(n)。
但需要验证这个逻辑是否正确。
例如，原数组为[0,1,3]，M=2。每个元素的情况：
- 移除0：出现次数为1，x=0 <2，所以结果应为0。正确。
- 移除1：出现次数为1，x=1 <2，所以结果应为1。正确。
- 移除3：x>=2，所以结果仍然是2。正确。
另一个例子，原数组是[0,0,1,2]，M=3。每个元素：
- 移除第一个0：出现次数是2，所以x=0 <3，出现次数>1，所以结果还是3。
- 移除第二个0：同上，结果3。
- 移除1：出现次数1，所以结果1。
- 移除2：出现次数1，结果2。
这样是否正确？
对于移除后的数组，比如移除第一个0后的数组是[0,1,2]，M=3，正确。移除后的最小缺失数是3。
所以，这样的逻辑是正确的。那这样的话，这个算法的时间复杂度可以做到O(n)，只需要预处理原数组的最小缺失数，并统计每个数的出现次数。
那问题转化为如何计算原数组的最小缺失数M，以及如何统计每个数的出现次数。
计算M的方法可以是：
将数组元素存入一个集合，然后从0开始依次检查，直到找到第一个不在集合中的数。这种方法的时间复杂度是O(n)，因为集合的查找是O(1)。
或者，可以使用排序的方法。先排序，然后遍历数组，找到第一个位置i，使得数组中的元素不包含i。例如，排序后的数组，跳过负数，然后检查0、1、2等是否存在。例如，排序后的数组是[0,1,3]，遍历到i=0，存在；i=1，存在；i=2，检查下一个元素是否是>=2。此时，第三个元素是3，所以中间缺少2。此时，M=2。
排序方法的时间复杂度是O(n log n)，而集合方法的时间复杂度是O(n)，所以更优的是集合方法。
所以，步骤：
1. 计算原数组的M，即最小缺失的非负整数。
2. 统计每个数在原数组中的出现次数，可以使用字典或者哈希表。
3. 对于数组中的每个元素x：
a. 如果x >= M，则结果M。
b. 如果x < M，且出现次数>1，则结果M。
c. 否则（x < M且出现次数=1），结果是x。
那这样的话，算法的时间复杂度是O(n)，因为预处理步骤是O(n)的，然后每个元素的处理是O(1)。
现在需要验证这个逻辑是否正确。比如，原数组是[1,2,3]，那么M是0。对于每个元素x，当移除x时：
例如，原数组的M是0，所以不管移除哪一个元素，结果都是0吗？
是的。例如，移除1后的数组是[2,3]，最小缺失是0。所以无论x是否>=M（这里M=0，x>=0都是true），所以结果都是M=0。这种情况下，逻辑正确。
另一个例子，数组是[0,2,2,1]。原数组的最小缺失数是3。统计次数：0出现1次，1出现1次，2出现2次。所以：
移除0时，出现次数是1，且x=0 <3，所以结果为0。
移除2时，出现次数是2>1，所以结果3。
移除1时，出现次数是1，所以结果1。
这样是否正确？
原数组是0、2、2、1，包含0、1、2。所以M=3。当移除0后，剩下的数组是[2,2,1]，包含1和2，所以最小缺失是0。正确。同理，移除1后的数组是[0,2,2]，包含0、2，所以最小缺失是1。正确。
那这个逻辑是正确的。
所以，算法的大体思路是正确的。现在需要将这个思路转化为具体的实现步骤。
具体步骤：
1. 找出数组中的最小缺失非负整数M。
- 遍历数组，将所有元素存入集合。
- 从0开始递增，直到找到第一个不在集合中的数，即为M。
2. 统计每个数的出现次数，可以使用哈希表（字典）来记录每个数出现的次数。
3. 遍历数组中的每个元素x：
a. 如果x >= M，那么结果就是M。
b. 否则，检查x的出现次数：
i. 如果次数>1，则结果还是M。
ii. 如果次数==1，则结果是x。
这样，每个元素的结果可以快速计算出来。
现在需要处理一些特殊情况，例如数组中有负数的情况。但根据问题描述，我们寻找的是非负整数的最小缺失数，所以负数可以忽略。例如，假设数组中有-1，在计算M时，集合中的元素包含负数，但我们在寻找M的时候会从0开始检查，所以负数不会影响。例如，数组是[-1, 0, 2]，M是1，因为0存在，但1不存在。
现在编写代码：
例如，用Python：
def find_smallest_missing(arr):
# 计算原数组的最小缺失数M
s = set(arr)
m = 0
while m in s:
m +=1
# 统计出现次数
freq = {}
for num in arr:
if num in freq:
freq[num] +=1
else:
freq[num] =1
# 遍历每个元素，计算结果
result = []
for x in arr:
if x >= m:
result.append(m)
else:
if freq[x] >1:
result.append(m)
else:
result.append(x)
return result
测试这个函数：
测试用例1：输入[0,1,3]
原数组的M是2。每个元素：
0出现次数1：结果0。
1出现次数1：结果1.
3 >=2：结果2.
所以输出应该是[0,1,2]，正确。
测试用例2：输入[0,0,1,2]
M是3。各元素：
0出现次数2：结果3.
0出现次数2：结果3.
1出现次数1：结果1.
2出现次数1：结果2.
所以输出是[3,3,1,2].
测试用例3：输入[1,2,3]
M是0。所有元素>=0，所以结果都是0。输出是[0,0,0].
测试用例4：输入[-1,0,1,3]
M是2。移除-1时，x=-1 <2，但原数组中-1的出现次数是1，所以结果是-1？但是问题要求的是非负整数的最小缺失，所以即使移除-1后的数组中的元素包含0、1、3，此时最小缺失的非负整数是2。所以这里逻辑有问题？
哦，这时候出现一个问题。我的逻辑是否有错误？
因为原数组中的元素可能包含负数，比如数组是[-1,0,1,3]。原数组的最小缺失非负整数是2。此时，当移除元素x=-1时，x < M=2，所以进入判断条件。此时，原数组中x的出现次数是1，所以结果应该是x=-1？但问题要求的是最小的缺失非负整数，所以结果应该还是0吗？
这说明我的逻辑存在错误。我的算法在计算时，如果x是负数的话，那么当移除它时，可能x < M，但x是负数，此时在移除后的数组中，如果原来的M的计算方式是正确的，那么此时是否会影响结果？
比如，原数组是[-1,0,1,3]，原集合包含-1,0,1,3。所以M是2。当移除-1之后，剩下的数组是[0,1,3]，此时的最小缺失非负整数是2。所以按照之前的逻辑，x=-1 < M=2，且出现次数是1，所以结果应该是x=-1，但实际正确的结果是2。这说明我的逻辑有问题。
那问题出在哪里？
原来我的逻辑假设当x < M且出现次数为1时，结果就是x。但这种情况仅在x是非负的情况下成立。当x是负数时，移除它不会影响非负整数的最小缺失数，因为原数组的M是计算非负的。
比如，原数组的M是2，当移除一个负数元素x，此时剩下的数组中的非负元素是否仍然包含0到M-1（即0和1）？假设原数组包含0和1，那么移除负数x之后，0和1仍然存在，所以M还是2。所以在这种情况下，当x是负数且x < M，但x是负数，此时虽然满足x < M，但由于x是负数，所以移除它不会影响非负整数的集合，所以结果还是原来的M。
所以我的算法在这种情况下会错误地将结果设为x（负数），而正确答案应该是M。
这说明之前的逻辑需要调整。必须确保x是非负数的情况下，才会导致结果变化。因为问题的最小缺失数是针对非负整数的，所以当x是负数时，即使移除它，对非负数的存在与否没有影响。因此，当x是负数时，不管是否被移除，原数组的M保持不变，所以此时的结果还是原来的M。
因此，需要修改算法，将条件改为：只有当x是非负数且x < M，并且出现次数为1时，结果才是x。否则，结果还是M。
所以，正确的逻辑应该是：
对于每个元素x：
如果x >= M → 结果M
否则，如果x是非负数：
如果出现次数>1 → 结果M
else → 结果x
否则（x是负数）：
结果M
这样就能处理负数的情况。
所以，原来的算法需要修正，在判断的时候，要区分x是否为非负数。例如：
修改后的步骤：
1. 计算原数组的最小缺失非负整数M。
2. 统计每个数的出现次数。
3. 对于数组中的每个元素x：
a. 如果x >= M → 结果M
b. 否则，如果x >=0:
i. 如果出现次数>1 → 结果M
ii. 否则 → 结果x
c. 否则（x <0）→ 结果M
这样，当x是负数时，无论出现次数如何，移除它不会影响非负整数的最小缺失数。例如，原数组是[-1,0,1,3]，当移除-1时，x是负数，所以结果M=2。原数组的M是2，结果正确。
另一个例子，原数组是[-5, -3, 0,1,3]。原M是2。当移除-5时，结果应为2。
再测试之前的错误情况：原数组是[-1,0,1,3]。当移除-1，结果为2。而按之前的错误逻辑，结果会变成-1，但正确结果应该是2。修正后的逻辑下，x=-1 < M=2，但x是负数，所以结果M=2。
这说明修正后的逻辑是正确的。
因此，算法需要调整，将x为非负数的条件加入进去。
现在修改代码：
def find_smallest_missing(arr):
s = set(arr)
m = 0
while m in s:
m +=1
freq = {}
for num in arr:
if num in freq:
freq[num] +=1
else:
freq[num] =1
result = []
for x in arr:
if x >= m:
result.append(m)
else:
if x >=0: # 只有x是非负数的情况下才可能影响结果
if freq[x] >1:
result.append(m)
else:
result.append(x)
else: # x是负数，不影响非负数的集合
result.append(m)
return result
测试这个修正后的代码：
测试用例4：输入[-1,0,1,3]，原M是2。当处理元素-1时，x是负数，所以结果追加m=2。其他元素：
0是非负，出现次数1 → 结果0.
1出现次数1 → 结果1.
3 >=2 → 结果2.
所以输出是[2,0,1,2]。正确，因为当移除-1后的数组的最小缺失数是2，所以结果正确。
另一个测试用例：输入[0, -2, 1,3]。原M是2。对于元素0：
x=0 <2，非负，出现次数1 → 结果0.
元素-2：负数 → 结果2.
元素1：非负，出现次数1 → 结果1.
元素3≥2 → 结果2.
所以输出是[0,2,1,2]。正确。
现在另一个情况：原数组是[0,0,1,2]。M是3。当移除0（出现次数2），所以结果应为3。当移除1（出现次数1），结果1。
这说明修正后的代码是正确的。
综上，算法的正确性现在得到了保证。该算法的时间复杂度是O(n)，空间复杂度是O(n)（存储集合和频率字典）。对于每个元素，只需要常数时间的判断，因此非常高效。
接下来，用户可能需要具体的代码实现，例如Python代码。同时，可能需要解释算法的时间复杂度，以及可能的优化点。
总结步骤：
1. 找出原数组的最小缺失非负整数M。
2. 统计每个数的出现次数。
3. 对于每个元素x，判断：
- 如果x >=M → 结果M
- 如果x是负数 → 结果M
- 否则（x是0~M-1）：
- 出现次数>1 → 结果M
- 出现次数=1 → 结果x
因此，代码实现正确。</think>要解决数组中每个元素被移除后剩余数组的最小缺失非负整数问题，可以采用以下高效算法：
### 算法步骤
1. **计算原数组的最小缺失非负整数**
遍历数组，将所有元素存入集合。从$0$开始递增，找到第一个不在集合中的数，记为$M$。例如，数组$[0,1,3]$的最小缺失数是$2$。
2. **统计元素出现次数**
使用哈希表记录每个元素的出现次数。例如，数组$[0,0,1]$的统计结果为$\{0:2, 1:1\}$。
3. **遍历数组元素，确定移除后的最小缺失数**
对于每个元素$x$：
- 若$x \geq M$或$x$为负数，移除后的最小缺失数仍为$M$。
- 若$x < M$且为非负数：
- 若$x$出现次数$>1$，移除后最小缺失数为$M$。
- 若$x$出现次数$=1$，移除后最小缺失数为$x$。
### 代码实现
```python
def find_smallest_missing(arr):
num_set = set(arr)
m = 0
while m in num_set:
m += 1
freq = {}
for num in arr:
freq[num] = freq.get(num, 0) + 1
result = []
for x in arr:
if x >= m or x < 0:
result.append(m)
else:
if freq[x] > 1:
result.append(m)
else:
result.append(x)
return result
```
### 示例分析
以数组$[0,1,3]$为例：
- 移除$0$后，数组变为$[1,3]$，最小缺失数为$0$。
- 移除$1$后，数组变为$[0,3]$，最小缺失数为$1$。
- 移除$3$后，数组变为$[0,1]$，最小缺失数为$2$。
代码输出结果为$[0,1,2]$，与预期一致。
### 复杂度分析
- **时间复杂度**：$O(n)$，其中$n$为数组长度。计算$M$和统计频率各需一次遍历。
- **空间复杂度**：$O(n)$，用于存储集合和哈希表。
### 应用场景
此算法适用于需要快速分析动态数组状态的场景，如实时数据处理或大规模数据预处理。例如，在数据库查询优化中，快速判断索引的连续性缺失[^1]。
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