数据结构(C语言版) 题集笔记（1.14-1.15）：第1章绪论（预备知识）-优快云博客

14、判断下列各对函数 f(n) 和 g(n)，当n→∞ 时，哪个函数增长更快。

具体有四对函数：

f(n)= $10^{2}$ + $\ln (n!+10^{n^{3}})$
g(n)= $2n^{4}+n+7$
f(n)= $(\ln (n!)+5)^{2}$
g(n)= $13n^{2.5}$
f(n)= $n^{2.1}+\sqrt{x^{4}+1}$
g(n)= $(\ln (n!))^{2}n$ + n
f(n)= $2^{n^{3}}+(2^{n})^{2}$
g(n)= $n^{n^{2}}+x^{5}$

解题方法
为了比较两个函数在
𝑛→∞时的增长速率，通常可以计算它们的比值的极限：

$\lim_{x\to \infty }\frac{f(x)}{g(x)}$
根据极限的结果：如果极限为 0，则 g(n) 增长更快。如果极限为常数 c>0，则两者增长速率相当。如果极限为 +∞，则 f(n) 增长更快。在实际操作中，可以忽略低阶项和常数系数，专注于主导项的增长速率。

（1）

f(n)= $10^{2}$ + $\ln (n!+10^{n^{3}})$
g(n)= $2n^{4}+n+7$

题解分析：

步骤一：n！和 $10^{n^{3}}$ 的增长速度比较， $10^{n^{3}}$ 是指数级增长，n！是阶乘增长

使用极限法 $\lim_{x \to\infty }\frac{n!}{10^{n^{3}}}$

对n！和 $10^{n^{3}}$ 取对数

斯特林公式： $\ln(n!)\approx n\ln n - n + \frac{1}{2}\ln (2\pi n)$

$n\rightarrow \infty$ ,n！对数 $\ln (n!)$ 的主导项为 $n\ln n - n$

$10^{n^{3}}$ 的对数 $n^{3}\ln n$

$\ln \frac{n!}{10^{n^{3}}}$ = $n\ln n - n$ - $n^{3}\ln n$ $\rightarrow -\infty$

$\lim_{x \to\infty }\frac{n!}{10^{n^{3}}}$ = $e^{-\infty }$ = 0

所以f(n)= $10^{2}$ + $\ln (n!+10^{n^{3}})$ 的主导项 $\ln (10^{n^{3}})$

g(n)= $2n^{4}+n+7$ 的主导项 $2n^{4}$

步骤二：使用极限法 $\lim_{x \to\infty }\frac{\ln (10^{n^{3}})}{2n^{4}}$ = $\lim_{x \to\infty }\frac{^{n^{3}}\ln (10)}{2n^{4}}$ $\rightarrow 0$

结论： g(n)的增长速度远快于 f(n)。

（2）

f(n)= $(\ln (n!)+5)^{2}$
g(n)= $13n^{2.5}$

题解分析

斯特林公式： $\ln(n!)\approx n\ln n - n + \frac{1}{2}\ln (2\pi n)$

$n\rightarrow \infty$ ,n！对数 $\ln (n!)$ 的主导项为 $n\ln n - n$

f(n)的主导项： $(n\ln n )^{2}$

g(n)主导项： $13n^{2.5}$

$\lim_{x \to\infty }\frac{f(x)}{g(x)}$ = $\lim_{x \to\infty }\frac{n^{2}(\ln n)^{2}}{13n^{2.5}}$ $\lim_{x \to\infty }\frac{(\ln n)^{2}}{13n^{0.5}}$ $\rightarrow 0$

结论： g(n)的增长速度远快于 f(n)。

（3）

f(n)= $n^{2.1}+\sqrt{x^{4}+1}$
g(n)= $(\ln (n!))^{2}$ + n

题解分析：

f(n)的主导项 $n^{2.1}$

g(n)的主导项计算：

斯特林公式： $\ln(n!)\approx n\ln n - n + \frac{1}{2}\ln (2\pi n)$

$n\rightarrow \infty$ ,n！对数 $\ln (n!)$ 的主导项为 $n\ln n - n$

g(n)的主导项 $(n\ln n)^{2}$

$\lim_{x \to\infty }\frac{f(x)}{g(x)}$ = $\lim_{x \to\infty }\frac{n^{2.1}}{n^{2}(\ln n)^{2}}$ = $\lim_{x \to\infty }\frac{n^{0.1}}{(\ln n)^{2}}$ $\rightarrow \infty$

结论： f(n)的增长速度远快于 g(n)。

(4)

f(n)= $2^{n^{3}}+(2^{n})^{2}$
g(n)= $n^{n^{2}}+x^{5}$

题解分析：

f(n)的主导项： $2^{n^{3}}$

g(n)的主导项： $n^{(n^{2})}$

$\lim_{x \to\infty }\frac{f(x)}{g(x)}$ = $\lim_{x \to\infty }\frac{2^{n^{3}}}{n^{n^{2}}}$

f(n)的主导项取对数 $n^{3}\ln 2$

g(n)的主导项取对数 $n^{2}\ln n$

$\lim_{x \to\infty }\frac{\ln f(x)}{\ln g(x)}$ = $\lim_{x \to\infty }\frac{n^{3}\ln 2}{n^{2}\ln n}$ = $\lim_{x \to\infty }\frac{n\ln 2}{\ln n}$ $\rightarrow \infty$