每周一算法：背包问题（四）分组背包

分组背包

有$N$组物品和一个容量是$M$的背包。

每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。每件物品的体积是$v_{ij}$，价值是 $w_{ij}$，其中$i$是组号，$j$是组内编号。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，$N$，$M$，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 $N$ 组数据：

• 每组数据第一行有一个整数$S_i$，表示第$i$ 组里的物品数量；
• 每组数据接下来有$S_i$行，每行有两个整数$v_{ij}$，$w_{ij}$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 组中第$j$个物品的体积，价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

样例 #1

样例输入 #1

3 5
2
1 2
2 4
1
3 4
1
4 5

样例输出 #1

8

提示

$0<N,M\le 100$
$0<S_i\le 100$
$0<v_{ij},w_{ij}\le 100$

算法思想

状态表示

分组背包的特点是有$N$组物品，每组中又有若干种物品，每件物品仅有一个。而对于每件物品只有两种选择，放入背包或者不放入背包。

因此，可以采用01背包的思想，将处理每组物品作为一个阶段，考虑在不同背包容量情况下的最大价值，将其状态定义为$f[i][j]$，表示对于前$i$组物品，在背包容量为$j$的情况下，背包获得的最大价值。

状态计算

在当前阶段，对于第$i$组物品来说，可以选择不放入背包和放入背包或者两种情况：

• 第$i$组物品不放入背包，此时的最大价值为前$i-1$组物品，在背包容量为$j$的情况下的最大价值$f[i-1][j]$。
• 第$i$组物品放入背包，由于同一组内的物品最多只能选一个，因此需要枚举第$i$组的每一件物品：
  • 放入第$1$个物品：此时背包的最大价值为$f[i-1][j-v_{i1}]+w_{i1}$
  • 放入第$2$个物品：此时背包的最大价值为$f[i-1][j-v_{i2}]+w_{i2}$
  • …
  • 放入第$k$个物品：此时背包的最大价值为$f[i-1][j-v_{ik}]+w_{ik}$
  • …

其中，$1\le k\le S_i$，$f[i][j]$应该选择以上情况的最大值，即f[i][j]=max⁡{f[i−1][j],f[i−1][j−vik]+wik}f[i][j] = \max\{f[i-1][j], f[i-1][j-v_{ik}]+w_{ik}\}f[i][j]=max{f[i−1][j],f[i−1][j−vik​]+wik​}。

初始状态

$f[0][0]$表示将前$0$组物品装入容量为$0$的背包中的产生的最大价值为$0$。

时间复杂度

• 状态数$n\times m$，
• 状态计算需要枚举每组物品的数量，时间复杂度为$O(S)$

总的时间复杂的为$O(n\times m\times S)$。

代码实现

朴素版

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 110;
int s[N], w[N][N], v[N][N];
int f[N][N];
int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        cin >> s[i];
        for (int j = 1; j <= s[i]; j ++ )
            cin >> v[i][j] >> w[i][j];
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
    {
        for(int j = 0; j <= m; j ++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j]; //不选择第i组任何物品的最大价值
            //枚举第i组内的所有物品
            for(int k = 1; k <= s[i]; k ++)
            {            	
                if(v[i][k] <= j) f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i][k]] + w[i][k]);//选择第i组中第k件物品产生的最大价值
            }
        }
    }
    cout << f[n][m] << endl;
    return 0;
}

空间优化版

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 110, M = 2010;
int s[N], v[N][N], w[N][N], f[M];
int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        cin >> s[i];
        for(int j = 1; j <= s[i]; j ++)
        {
            cin >> v[i][j] >> w[i][j];
        }
    }
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        for(int j = m; j >= 0; j --)
        {
            for(int k = 1; k <= s[i]; k ++)
                if(v[i][k] <= j)
                    f[j] = max(f[j], f[j - v[i][k]] + w[i][k]);
        }
    cout << f[m];
    return 0;
}