大数相乘的算法（instructed by Western University Prof.Schost）

一、Karatsuba算法主要应用于两个大数的相乘，原理是将大数分成两段后变成较小的数位，然后做3次乘法，并附带少量的加法操作和移位操作。

现有两个大数，x，y。

首先将x，y分别拆开成为两部分，可得x1，x0，y1，y0。他们的关系如下：

x = x1 * 10 ^m + x0；

y = y1 * 10 ^m + y0。其中m为正整数，m < n，且x0，y0 小于 10 ^m。

那么 xy = (x1 * 10 ^m + x0)(y1 * 10 ^m + y0)

=z2 * 10 ^2m + z1 * 10 ^m + z0，其中：

z2 = x1 * y1；

z1 = x1 * y0 + x0 * y1；

z0 = x0 * y0。

此步骤共需4次乘法，但是由Karatsuba改进以后仅需要3次乘法。因为：

z1 = x1 * y0+ x0 * y1

z1 = (x1 + x0) * (y1 + y0) - x1 * y1 - x0 * y0，

故x0 * y0 便可以由加减法得到。

例子：

设x = 12356，y=6789，令m=3。那么有：

12345 = 12 * 1000 + 345；

6789 = 6 * 1000 + 789。

下面计算：

z2 = 12 * 6 = 72；

z0 = 345 * 789 = 272205；

z1 = (12 + 345) * (6 + 789) - z2 - z0 = 11538。

然后我们按照移位公式（xy = z2 * 10 + z1 * 10 + z0）可得：

xy = 72 * 1000 ² + 11538 * 1000 + 272205 = 83810205。

算法的复杂度不超过3n ^log3  ≈ 3n ^1.585 。

伪代码：

procedure karatsuba(num1, num2)

    if (num1 < 10) or (num2 < 10)   

         return num1*num2  

    /* calculates the size of the numbers */  

    m = max(size(num1), size(num2))  

    low1, low2 = lower half of num1, num2  

    high1, high2 = higher half of num1, num2  

    /* 3 calls made to numbers approximately half the size */  

    z0 = karatsuba(low1,low2)  

    z1 = karatsuba((low1+high1),(low2+high2))  

    z2 = karatsuba(high1,high2)  

    return (z2*10^(m))+(（z1-z2-z0）*10^(m/2))+(z0)

二、 Toom's algorithm

对于以上的F, G

F,G中x的最高次数是k-1,H=FG, H中x的最高次数就是2k-2;（k是F,G中因子的项数）

Evaluation.
f0 = f(0) g0 = g(0)
f0 + f1 = f(1) g0 + g1 = g(1)
f1 = f(1) g1 = g(1)
Multiplication. After the products, we know
h(0) = f(0)g(0)
h(1) = f(1)g(1)
h(00) = f（00)g(00)
Interpolation.
h = h(0) + (h(1)