[NOIP模拟][数学推理]Math

题目描述：
题目大意：
给定a,n(a≤$10^9$,n≤30)，求有多少b(1≤b≤$2^n$)满足：$a^b\equiv b^a (mod2^n)$。多组数据。
样例输入

2
2 3
2 2

样例输出

3
2

题目分析
找规律加数学推理。首先分两种情况：
a为奇数：如果你打了个暴力，然后打打表什么的就可以发现答案恒为1。证明如下：
1、a为奇数，b也一定为奇数，否则，$a^b$和$b^a$的奇偶性不同，就不可能同余$2^n$。
2、再证明$b\equiv a (mod2^n)$，利用数学归纳。
       ①奇数平方模8余1（你可以写成$（2n+1）^2$展开就能证明），所以有$a^b\equiv a (mod8)$， 证明$\Rightarrow$ $a^b％8$$\Rightarrow$$a^{2k}*a^1％8$(假设b=2k+1)$\Rightarrow$ $(a^k)^2*a％8$$\Rightarrow$ 1*a％8,即$a^b\equiv a (mod8)$，同理$b^a\equiv b (mod8)$,又因为题目中要求的是$a^b\equiv b^a (mod2^n)$ ,那么可得$a^b\equiv b^a (mod8)$（此步证明见最后），于是再综合前面两个得$a\equiv b (mod8)$。
       ②奇数四次方模16余1，所以有$a^b\equiv a ^{b％4}(mod16)$， 证明$\Rightarrow$ $a^b ％16$$\Rightarrow$$a^{4k}*$$a ^{b％4}％16$(令b=4k+b%4)$\Rightarrow$ $(a^k)^4*a ^{b％4}％16$$\Rightarrow$ $1*a ^{b％4}％16$,即$a^b\equiv a ^{b％4}(mod16)$，同理$b^a\equiv b ^{a％4}(mod16)$,又因为题目中要求的是$a^b\equiv b^a (mod2^n)$ ,那么可得$a^b\equiv b^a (mod16)$，那么综合前面的可得$a ^{b％4}\equiv b ^{a％4}(mod16)$，又因为$a^b\equiv b^a (mod2^n)$ ,那么可得$a^b\equiv b^a (mod4)$，于是得$a\equiv b (mod4)$，即a%4=b%4，所以得到$a\equiv b (mod16)$。
        ③同理我们可得$\Rightarrow$$a\equiv b (mod32)$
3、于是归纳得出满足要求的a,b满足条件$b\equiv a (mod2^n)$，又因为a,n确定，且1≤b≤$2^n$,那么b就是唯一确定，即答案为1。
a为偶数:
1、同理b也一定为偶数。
2、若n≤b，则$a^b\equiv 0 (mod2^n)$,因为题目要求$a^b\equiv b^a (mod2^n)$，故$b^a\equiv 0 (mod2^n)$。再设b=$2^k*c$$\Rightarrow$ $(2^k*c)^a\equiv 2^{ka}*c^a\equiv 0 (mod2^n)$,于是得n≤a*k$\Rightarrow$ $\lceil$ $\frac{n}{a}$ $\rceil$≤k(向上取整),即$2^{\lceil \frac{n}{a} \rceil}$整除$2^k$ $\Rightarrow$ $2^{\lceil \frac{n}{a} \rceil}$整除b，因为1≤b≤$2^n$,所以n≤b的范围内，符合要求的b个数就是看$2^n$内有多少个$2^{\lceil \frac{n}{a} \rceil}$的倍数，即$2^n$/$2^{\lceil \frac{n}{a} \rceil}$（如果$2^{\lceil \frac{n}{a} \rceil}$小于n,还需减去n以内$2^{\lceil \frac{n}{a} \rceil}$的倍数的个数，即n/$2^{\lceil \frac{n}{a} \rceil}$）。
3、若$b<n$,因为n≤30，暴力枚举加判断就行。
PS: 证明$a^b\equiv b^a(mod 2^n)$可推得$\Rightarrow$$a^b\equiv b^a(mod 2^k)$（$k<n$）,$a^b\equiv b^a(mod 2^n)$$\Rightarrow$$a^b=b^a+2^n*x$ $\Rightarrow$$a^b=b^a+2^k*m$$\Rightarrow$$a^b\equiv b^a(mod 2^k)$。
附代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;

int mi[50],t,n,a,ans,x;

int readint()
{
    char ch;int i=0,f=1;
    for(ch=getchar();(ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-';ch=getchar());
    if(ch=='-') {ch=getchar();f=-1;}
    for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) i=(i<<3)+(i<<1)+ch-'0';
    return i*f;
}

int ksm(int  x,int y)
{
    int ret=1;
    for(;y;y/=2,x=(long long)(x*x)%mi[n])
        if(y&1) ret=(long long)(ret*x)%mi[n];
    return ret;
}

int main()
{
    //freopen("math.in","r",stdin);
    //freopen("math.out","w",stdout);

    mi[0]=1;
    for(int i=1;i<=30;i++)//预处理2的次幂
        mi[i]=(mi[i-1]<<1);
    t=readint();
    while(t--)
    {
        a=readint();n=readint();
        if(a%2==1) printf("1\n");
        else
        {
            ans=0;
            x=(n+a-1)/a;//相当于向上取整
            ans+=mi[n]/mi[x];
            ans-=n/mi[x];
            for(int i=2;i<=n;i+=2)
                if(ksm(a,i)==ksm(i,a)) ans++;
            printf("%d\n",ans);
        }
    }

    return 0;
}