多重背包 完全背包 01背包模板

本文详细解析了背包问题的三种类型:0-1背包、完全背包和多重背包,通过代码实例展示了如何求解每种类型的背包问题,以获得最大价值。

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多重背包问题

多重背包问题限定了一种物品的个数,解决多重背包问题,只需要把它转化为0-1背包问题即可。比如,有2件价值为5,重量为2的同一物品,我们就可以分为物品a和物品b,a和b的价值都为5,重量都为2,但我们把它们视作不同的物品。

#include <iostream>
using namespace std;
#define V 1000
int weight[50 + 1];
int value[50 + 1];
int num[20 + 1];
int f[V + 1];
int max(int a, int b) {
    return a > b ? a : b;
}
int main() {
    int n, m;
    cout << "请输入物品个数:";
    cin >> n;
    cout << "请分别输入" << n << "个物品的重量、价值和数量:" << endl; 
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> weight[i] >> value[i] >> num[i];
    }
    int k = n + 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        while (num[i] != 1) {
            weight[k] = weight[i];
            value[k] = value[i];
            k++;
            num[i]--;
        }
    }
    cout << "请输入背包容量:";
    cin >> m;
    for (int i = 1; i <= k; i++) {
        for (int j = m; j >= 1; j--) {
            if (weight[i] <= j) f[j] = max(f[j], f[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << "背包能放的最大价值为:" << f[m] << endl;
}

2.完全背包问题

完全背包问题是指每种物品都有无限件。

#include <iostream>
#define V 500
using namespace std;
int weight[20 + 1];
int value[20 + 1];
int f[V + 1];
int max(int a, int b) {
    return a > b ? a : b;
}
int main() {
    int n, m;
    cout << "请输入物品个数:";
    cin >> n;
    cout << "请分别输入" << n << "个物品的重量和价值:" << endl; 
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> weight[i] >> value[i];
    }
    cout << "请输入背包容量:";
    cin >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = weight[i]; j <= m; j++) {
            f[j] = max(f[j], f[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    cout << "背包能放的最大价值为:" << f[m] << endl;
}

1.0-1背包问题

0-1背包问题是指每一种物品都只有一件,可以选择放或者不放

#include <iostream>
#define V 500
using namespace std;
int weight[20 + 1];
int value[20 + 1];
int f[V + 1];
int main() {
    int n, m;
    cout << "请输入物品个数:";
    cin >> n;
    cout << "请分别输入" << n << "个物品的重量和价值:" << endl; 
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> weight[i] >> value[i];
    }
    cout << "请输入背包容量:";
    cin >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = m; j >= 1; j--) {
            if (weight[i] <= j) {
                f[j] = f[j] > f[j - weight[i]] + value[i] ? f[j] : f[j - weight[i]] + value[i];
            }
        }
    }
    cout << "背包能放的最大价值为:" << f[m] << endl;
}

 

### 回答1: 多重背包问题是指在给定容量和物品的价值和重量的情况下,如何最大限度地装入物品,使得总价值最大化的问题。它的模板是:给定N种物品和一个容量为V的背包,每种物品有无限件可用,每件物品的重量是w[i],其价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。 ### 回答2: 多重背包问题是一个经典的组合优化问题,它是在0/1背包问题的基础上进行了扩展。在多重背包问题中,每个物品可以被选择的次数不再是1次,而是有一个确定的上限k次(k>1)。我们需要选择一些物品放入背包中,使得它们的总体积不超过背包的容量,并且使得它们的总价值最大化。 要解决多重背包问题,可以使用动态规划的方法。首先,我们定义一个二维数组dp[i][j],其中i表示前i个物品,j表示背包的容量。dp[i][j]表示当只考虑前i个物品、背包容量为j时,能够获取的最大价值。然后,我们可以使用如下的状态转移方程来计算dp[i][j]的值: dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i]]+w[i], dp[i-1][j-2v[i]]+2w[i], ..., dp[i-1][j-kv[i]]+kw[i]) 其中,v[i]表示第i个物品的体积,w[i]表示第i个物品的价值,k表示第i个物品的可选次数。上述状态转移方程的意义是,我们可以选择不取第i个物品,或者分别取1次、2次、...、k次第i个物品,选择这些情况下的最大价值。 最后,我们可以通过遍历所有的物品和背包容量,计算出dp[n][m],其中n表示物品的个数,m表示背包的容量。dp[n][m]即为问题的解,表示只考虑前n个物品、背包容量为m时能够获取的最大价值。 综上所述,多重背包问题的解决方法是利用动态规划,通过定义状态转移方程和计算数组dp的值,找到问题的最优解。希望以上介绍对您有所帮助。 ### 回答3: 多重背包问题是常见的背包问题之一,与0-1背包问题和完全背包问题类似,但有一些区别。 在多重背包问题中,给定n个物品和一个容量为V的背包,每个物品有两个属性:重量w和价值v。同时,每个物品还有对应的个数限制c,表示该物品的数量最多可以选择c次。 我们需要选择物品放入背包,使得背包的总容量不超过V,同时物品的总价值最大。 多重背包问题可以用动态规划来解决。 我们可以定义一个二维数组dp,其中dp[i][j]表示前i个物品中选择若干个物品放入容量为j的背包时的最大价值。 根据多重背包问题的特点,我们需要对每个物品的个数进行遍历,并依次判断放入背包的个数是否超过c。 具体的状态转移方程为: dp[i][j] = max(dp[i-1][j-k*w[i]] + k*v[i]),其中0 <= k <= min(c[i], j/w[i]) 最后,需要注意的是多重背包问题的时间复杂度较高,为O(N*V*∑(c[i])),其中N是物品的数量,V是背包的容量,∑(c[i])表示物品的个数限制的总和。 总结而言,多重背包问题是在0-1背包问题和完全背包问题基础上的一种更复杂的情况,需要对每个物品的个数进行遍历和判断,采用动态规划求解。
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