树链剖分详解-优快云博客

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最近一直在看熟练剖分，终于有点理解是怎么回事了，在网上看到这一篇博客还挺好的，就简单的改了改一些细节，树链剖分就是将一棵树按照一种规则分成若干条链，把每一条链看作是一个单位，用数据结构来维护这些链的值。

“在一棵树上进行路径的修改、求极值、求和”乍一看只要线段树就能轻松解决，实际上，仅凭线段树是不能搞定它的。我们需要用到一种貌似高级的复杂算法——树链剖分。

树链，就是树上的路径。剖分，就是把路径分类为重链和轻链记：
$dep[v]$ ：表示 $v$ 的深度（根节点深度为 $1$ ）；
$siz[v]$ ：表示以 $v$ 为根的子树的节点数；
$fa[v]$ ：表示 $v$ 的父亲结点
$top[v]$ ：表示 $v$ 所在的重链的顶端节点；
$son[v]$ ：表示与v在同一重链上的 $v$ 的儿子节点（姑且称为重儿子）；
*w[v] $** ：表示$ v $与其父亲节点的连边（姑且称为$ v $的父边）在线段树中的位置。只要把这些东西求出来，就能用$ log(N)$的时间完成原问题中的操作。

重儿子：siz[u]为v的子节点中siz值最大的，那么u就是v的重儿子。轻儿子：v的其它子节点。重边：点v与其重儿子的连边。轻边：点v与其轻儿子的连边。重链：由重边连成的路径。轻链：轻边。

剖分后的树有如下性质：
性质1：如果(v,u)为轻边，则siz[u] * 2 < siz[v]；
性质2：从根到某一点的路径上轻链、重链的个数都不大于logn。

算法实现：
我们可以用两个 $dfs$ 来求出 $fa、dep、siz、son、top、w。$
dfs_1：把 $fa、dep、siz、son$ 求出来，比较简单，略过。

dfs_2： ⒈对于 $v$ ，当 $son[v]$ 存在（即v不是叶子节点）时，显然有 $top[son[v]] = top[v]$ 。线段树中，v的重边应当在v的父边的后面，记 $w[son[v]] = totw+1$ ， $totw$ 表示最后加入的一条边在线段树中的位置。此时，为了使一条重链各边在线段树中连续分布，应当进行 $dfs_2(son[v])；$

⒉对于v的各个轻儿子u，显然有 $top[u] = u$ ，并且 $w[u] = totw+1$ ，进行 $dfs_2$ 过程。
这就求出了 $top$ 和 $w$ 。
将树中各边的权值在线段树中更新，建链和建线段树的过程就完成了。

修改操作：例如将u到v的路径上每条边的权值都加上某值x。
一般人需要先求LCA，然后慢慢修改 $u、v$ 到公共祖先的边。而高手就不需要了。
记 $f1 = top[u]，f2 = top[v]$ 。
当 $f1 <> f2$ 时：不妨设 $dep[f1] >= dep[f2]$ ，那么就更新 $u$ 到 $f1$ 的父边的权值 $(logn)$ ，并使 $u = fa[f1]$ 。
当 $f1 = f2$ 时： $u$ 与 $v$ 在同一条重链上，若u与v不是同一点，就更新u到v路径上的边的权值 $(logn)$ ，否则修改完成；
重复上述过程，直到修改完成。

求和、求极值操作：类似修改操作，但是不更新边权，而是对其求和、求极值。
就这样，原问题就解决了。画图来看看：树链剖分

如吓图所示，较粗的为重边，较细的为轻边。节点编号旁边有个红色点的表明该节点是其所在链的顶端节点。边旁的蓝色数字表示该边在线段树中的位置。图中 $1-4-9-13-14$ 为一条重链。

当要修改 $11$ 到 $10$ 的路径时。

第一次迭代： $u = 11，v = 10，f1 = 2，f2 = 10$ 。此时 $dep[f1] < dep[f2]$ ，因此修改线段树中的 $5$ 号点， $v = 4, f2 = 1；$
第二次迭代： $dep[f1] > dep[f2]$ ，修改线段树中10–11号点。 $u = 2，f1 = 2；$
第三次迭代： $dep[f1] > dep[f2]$ ，修改线段树中 $9$ 号点。 $u = 1，f1 = 1；$
第四次迭代： $f1 = f2$ 且 $u = v$ ，修改结束。

在树链剖分的题型中有边权型和点权型之分，点权的既叫好理解，就不多说了。边权就是将边映射到深度较深的那个点上。

// 点权型单点更新区间查询 #define lson l,m,rt<<1 #define rson m+1,r,rt<<1|1 const int Vmax = 5*1e4 + 5;//点的数量 const int Emax =2*1e5+5;//边的数量小于Vmax的两倍 namespace segment_tree{ int sum[Vmax<<2],add[Vmax<<2]; inline void pushup(int rt){ sum[rt]=sum[rt<<1]+sum[rt<<1|1]; } void update(int L,int c,int l,int r,int rt=1){ if (L == l && l == r) { sum[rt] = c; return ; } int m = (l + r) >> 1; if (L <= m) update(L , c , lson); else update(L , c , rson); pushup(rt); } int query(int L,int R,int l,int r,int rt=1){ if (L <= l && r <= R) return sum[rt]; int m = (l + r) >> 1; int ret = 0; if (L <= m) ret+=query(L , R , lson); if (m < R) ret+=query(L , R , rson); return ret; } } namespace poufen{ using namespace segment_tree; int siz[Vmax],son[Vmax],fa[Vmax],dep[Vmax],top[Vmax],w[Vmax]; int nodenum; struct edge{ int v,next; }e[Emax]; int pre[Vmax],ecnt; inline void init(){ memset(pre, -1, sizeof(pre)); ecnt=0; } inline void add_(int u,int v){ e[ecnt].v=v; e[ecnt].next=pre[u]; pre[u]=ecnt++; } void dfs(int u){ siz[u]=1;son[u]=0;//下标从1开始，son[0]初始为0 for(int i=pre[u];~i;i=e[i].next) { int v=e[i].v; if(fa[u]!=v) { fa[v]=u; dep[v]=dep[u]+1;//初始根节点dep!! dfs(v); siz[u]+=siz[v]; if(siz[v]>siz[son[u]])son[u]=v; } } } void build_tree(int u,int tp){ top[u]=tp,w[u]=++nodenum; if(son[u])build_tree(son[u],tp); for(int i=pre[u];~i;i=e[i].next) if(e[i].v!=fa[u]&&e[i].v!=son[u]) build_tree(e[i].v,e[i].v); } inline int find1(int u,int v){ int ret=0; int f1=top[u],f2=top[v]; while(f1!=f2) { if(dep[f1]<dep[f2]) swap(f1,f2),swap(u,v); ret+=query(w[f1],w[u],1,nodenum); u=fa[f1]; f1=top[u]; } if(dep[u]>dep[v])swap(u,v); ret+=query(w[u],w[v],1,nodenum); return ret; } int a[Vmax],b[Vmax]; int val[Vmax];// void work1(int n) { memset(siz, 0, sizeof(siz)); memset(sum, 0, sizeof(sum)); init(); int root=1; fa[root]=nodenum=dep[root]=0; for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&val[i]); for(int i=1;i<n;i++) { scanf("%d%d",&a[i],&b[i]); add_(a[i],b[i]); add_(b[i],a[i]); } dfs(root); build_tree(root,root); for(int i=1;i<=n;i++) update(w[i],val[i],1,nodenum); } } using namespace poufen;