【矩阵快速幂专题】HDU 5667 Sequence

最新推荐文章于 2020-04-21 19:10:53 发布

荷叶田田_

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分类专栏：机试

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博客围绕Sequence问题展开，给出问题描述、输入输出要求等。问题是根据给定的n、a、b、c、p求fn对p求余。思路是构造矩阵计算幂系数，算矩阵时对p - 1求余，同时对a % p == 0的情况特殊处理，最后给出AC代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5667

Sequence

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others)
Total Submission(s): 2706 Accepted Submission(s): 904

Problem Description

    Holion August will eat every thing he has found.

    Now there are many foods,but he does not want to eat all of them at once,so he find a sequence.

$f_n=\left\{\begin{matrix} 1 ,&n=1 \\ a^b,&n=2 \\ a^bf_{n-1}^cf_{n-2},&otherwise \end{matrix}\right.$

    He gives you 5 numbers n,a,b,c,p,and he will eat fn foods.But there are only p foods,so you should tell him fn mod p.

Input

    The first line has a number,T,means testcase.

    Each testcase has 5 numbers,including n,a,b,c,p in a line.

    1≤T≤10,1≤n≤1018,1≤a,b,c≤109,p is a prime number,and p≤109+7.

Output

Output one number for each case,which is fn mod p.

Sample Input

1
5 3 3 3 233

Sample Output

Source

BestCoder Round #80

思路

题目大意：给你一个这样的公式， $f_n=\left\{\begin{matrix} 1 ,&n=1 \\ a^b,&n=2 \\ a^bf_{n-1}^cf_{n-2},&otherwise \end{matrix}\right.$ 然后求fn 对p求余，给出n,a,b,c,p

题目思路：首先我们可以很轻松的构造出这样一个东西，这个fn一定是a的幂次，所以我们稍微推一下可知，对于fn，令他的幂系数为f(n)，则f(n) = c*f(n-1)+f(n-2)+b,具体推导见下图：

然后构造一下矩阵去计算这个系数，但是需要注意的是，这里算矩阵的时候不能够对MOD求余，而是对MOD-1求余，因为由费马小定理可知 $a^{b*p[n]mod(mod-1)}$ %mod，所以我们矩阵快速幂的系数是对p-1求余，然后还需要去注意的一点是当a%p == 0时，需要特殊处理，比如3 4 3 2 2这组数据，不特殊处理会输出1，但是实际上应该输出0，手动模拟一下就好了：

构造矩阵如图：

AC Code

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll nmax=3;
ll MOD;
#define mod(x) ((x)%MOD)
 
struct mat{
	ll m[nmax][nmax];
}unit;
 
//A*B^(n-2)=C //C矩阵的首项即为f(n) 
mat operator *(mat a,mat b){
	mat ret;
	ll x;
	for(ll i=0;i<nmax;i++){//3*3
		for(int j=0;j<nmax;j++){
			x=0;
			for(ll k=0;k<nmax;k++){
				x+=mod((ll)a.m[i][k]*b.m[k][j]);
			}
			ret.m[i][j]=mod(x);
		}
	}
	return ret;
}
 
void init_unit(){
	for(ll i=0;i<nmax;i++){
		unit.m[i][i]=1;
	} 
	return;
}
mat pow_mat(mat a,ll n){//求矩阵a的n次幂 
	mat ret=unit;
	while(n){
		if(n&1) ret=ret*a;
		a=a*a;
		n>>=1;
	} 
	return ret;
}
ll quick_pow(ll a,ll n){//求数a的n次幂 
	ll ans=1;
	while(n){
		if(n&1) ans=(ans*a)%MOD;
		a=(a*a)%MOD;
		n>>=1; 
	} 
	return ans;
} 
int main(int argc, char** argv) {
	ll t;
	ll n,A,B,C,P,ans;
	init_unit();
	scanf("%lld",&t);
	while(t--){
		scanf("%lld %lld %lld %lld %lld",&n,&A,&B,&C,&P);
		MOD=P;
		if(n==1) printf("1\n");
		else if(n==2) printf("%d\n",quick_pow(A,B));//A^B
		else{
			if(A%P == 0) {printf("0\n");continue;}
			mat a,b;
			
			b.m[0][0]=C;b.m[0][1]=1;b.m[0][2]=0;
			b.m[1][0]=1;b.m[1][1]=0;b.m[1][2]=0;
			b.m[2][0]=B;b.m[2][1]=0;b.m[2][2]=1;
			
			a.m[0][0]=B;a.m[0][1]=0;a.m[0][2]=1;
			
			MOD--;
			b=pow_mat(b,n-2);
			a=a*b;
			MOD++;
			ans=quick_pow(A,a.m[0][0]);//A^F(n) 
			
			printf("%lld\n",ans);
		} 
	}
	return 0;
}