B树系列以及数据库中B树系列的应用

一、B树

B树概念

一种适合外查找的平衡m叉树。

B树的性质

1、根节点至少有两个孩子。

2、每个分支节点都包含k-1个关键字和k个孩子（m/2向上取整 <= k <= m）

3、叶子节点有k-1个关键字。

4、所有叶子节点在同一层。

5、所有节点中关键字从小到大。

6、每个节点结构（n，A0，K1，A1，K2，A2，… ，Kn，An）其中，Ki(1 ≤ i ≤ n)为关键字，Ai(0 ≤ i ≤ n)为孩子指针。

n满足m/2向上取整 <= n <= m

B树结构

B树的插入

基本原理

在m阶B树中，每个节点最多有m个孩子和m-1个关键字，所以在关键字数量等于m时就需要节点分裂。

分裂规则：找到中位数作父节点，左右两侧数据作兄弟。

举例

在3阶B树中

节点关键字数到3就要分裂

中位数75就作父亲

B树的删除

基本原理

节点关键字数量小于m/2时就要借数据。优先从父亲借，不够再向兄弟借。如果都借不到就要合并兄弟节点。这里不作过多解释。

B树的性能分析

对于一棵节点为N度为M的B树，查找和插入需要log{M-1}N ~ log{M/2}N次比较，这个很好证 明：对于度为M的B-树，每一个节点的子节点个数为M/2 ~(M-1)之间，因此树的高度应该在要 $log{M-1}N$和$log{M/2}N$之间，在定位到该节点后，再采用二分查找的方式可以很快的定位 到该元素。 B-树的效率是很高的，对于N = 62*1000000000个节点，如果度M为1024，则log{M/2}N <= 4，即在620亿个元素中，如果这棵树的度为1024，则需要小于4次即可定位到该节点，然后利用 二分查找可以快速定位到该元素，大大减少了读取磁盘的次数。

补充知识

在概念中我们提到，B树用于在外存中进行查找数据，那为什么之前学习的AVL树，哈希表不适合在外存中查找呢？

使用平衡二叉树搜索树的缺陷： 平衡二叉树搜索树的高度是logN，这个查找次数在内存中是很快的。但是当数据都在磁盘中时， 访问磁盘速度很慢，在数据量很大时，logN次的磁盘访问，并不快。（注意磁盘只是定位慢，并不是查找慢）

 使用哈希表的缺陷： 哈希表在一些极端场景下某个位置冲突很多，导致访问次数增加，甚至退化到O(N)水平。

那作为多叉平衡二叉树，降低高度就意味着减少磁盘定位次数，大大减少查找时间。

二、B+树

B+树对于B树的优化

1、分支节点的子树指针与关键字个数相同。

2、分支节点的子树指针p[i]指向关键字值大小在[k[i]，k[i+1]]区间之间。

3、所有叶子节点增加一个链接指针链接在一起。

4、所有关键字及其映射数据都在叶子节点出现。

分支节点和叶子节点有重复值，分支节点是叶子节点的索引，即父节点中存的是孩子节点中的最小值，这样的结构是为了更加方便的找到目标数据大概范围。

而且因为叶子结点有指针相连，遍历全部数据更加简单。

B+树结构

B+树的特点

1、所有关键字都出现在叶子节点的链表中，且链表中的节点都是有序的。

2、不可能在分支节点中命中。

3、分支节点相当于是叶子节点的索引，叶子节点才是存储数据的数据层。

三、B*树

B*树作用

B*树的本质就是提高空间利用率，我们知道不论是B树还是B+树，节点的数据分裂一次是m/2，这样在数据量大的情况下其实有很多节点都空有m/2的位置未插入，浪费较多，而B*树的分裂原理可以提高空间利用率。

B*树分裂原理

当一个节点关键字满了，如果兄弟节点未满就把数据插入到兄弟节点（当然父节点的最小索引值也要发生改变）

当节点与他的兄弟都满了，开一个新节点存放前一个节点的后1/3数据和后一个节点的前1/3数据，作为两个节点的兄弟，更新父节点。

所以B*树关键字和孩子数量范围[2/3m,m]

四、B树系列总结

B树：有序数组+平衡多叉树

B+树：有序数组链表+平衡多叉树

B*树：一棵更丰满空间利用率更高的B+树

五、B树系列在内外存中对比其他搜索数据结构优劣

1、B树在内存中查找的劣势

空间利用率低

插入删除数据必然伴随数据的移动，在顺序表中的时间复杂度可想而知。

虽然高度降低，但是在内存中优化并不明显

2、B树在外存中的优势

例如若有1024阶B树和平衡二叉搜索树，查找1000000000个数据，一个是3次，一个是30次相差不大，但是在磁盘中定位3次和30次时间是相差极大的。

六、数据库中B树系列的应用

1、B+树在数据库中应用

在建表使B+树索引磁盘数据，建表的主键是B+树的key，B+树的value存放数据文件在磁盘中的地址。

2、B+树相比于B树作主键索引的优势

B+树的value都在叶子，遍历方便，查找区间比查找具体值快。

对于没有建立索引的字段，全表扫描查找比B树快。

分支节点存储key，一个分支节点空间占用小，可以尽可能多的加载到缓存。

3、MyISAM引擎介绍

MyISAM引擎是MySQL5.5.8版本之前默认的存储引擎，不支持事物，支持全文检索，使用B+Tree 作为索引结构，叶节点的data域存放的是数据在磁盘中的地址。

主键（Primary key）唯一，但是想要用别的字段进行查找就要用辅助索引（Secondary key）,本质相当于用B+树把字段作key，value指向磁盘地址，再用sql语句就会提高效率。

作为主键的字段必须唯一，若不唯一在添加数据时会报错，解决办法可以用自增主键。

（注意索引是基于表，不是基于数据库）

4、InnoDB引擎介绍

InnoDB存储引擎支持事务，其设计目标主要面向在线事务处理的应用，从MySQL数据库5.5.8版 本开始，InnoDB存储引擎是默认的存储引擎。InnoDB支持B+树索引、全文索引、哈希索引。但 InnoDB使用B+树作为索引结构时，具体实现方式却与MyISAM截然不同。

第一个区别是InnoDB的数据文件本身就是索引文件。MyISAM索引文件和数据文件是分离的（非聚集索引）， 索引文件仅保存数据记录的地址。而InnoDB索引，表数据文件本身就是按B+树组织的一个索引结构，这棵树的叶节点data域保存了完整的数据记录（聚集索引）。这个索引的key是数据表的主键，因此 InnoDB表数据文件本身就是主索引。

所以MyISAM是先找到索引文件，再在磁盘上找到数据文件，而InnoDB叶子结点包含完整数据（索引+数据）每个节点数据都是以文件形式存在于磁盘。

问题

在InnoDB中建立辅助索引时，索引树的value存放主键，由于是完整的数据，索引树与主键树的叶子结点数据不同无法映射。解决办法就是查找两次，第一次在索引树中找到主键，第二次在主键树中搜索找到的主键。

而MyISAM是在索引树中找到磁盘地址，在磁盘地址中查找数据。