欧拉函数及其特性

什么是欧拉函数：
欧拉函数是 小于 $x$ 的整数中与 $x$ 互质的个数 ， 一般用 $\phi (x)$ 表示。特殊的，φ(1)=1。

如何求欧拉函数：
通式：$\phi (n)=n\ast (1-1/p1)\ast (1-1/p2)\ast (1-1/p3)\ast ...\ast (1-1/pn)$ 其中 $p1,p2,p3....pn$ 为$n$ 的所有质因数，n为正整数

欧拉函数的性质：
特性一：若n为质数 φ(n)=n-1
特性二：若a为质数，$b\%a=0,\phi (ab)=\phi (b)\ast a$
特性三：若a,b互质, $\phi (ab)=\phi (a)\ast \phi (b)$，特别的m=2,n为奇数时， φ(2n)= φ(n)
特性四：若n=p^k，φ(n)=p^k-p^k-1,证明：因为p是n的唯一质因数，所以 φ(p^k)=p^k(1-1/p)=p^k-p^k-1;
特性五：不大于n且与n互质的整数和为： $\phi (n)\ast n/2（n>1）$
特性六：n=∑{d∣n} φ(d)，即n的因数（包括1和它自己）的欧拉函数之和等于n

#include<bits/stdc++.h>
#define pii pair<int,int>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1e6+5;

int num_prime;/** 质数个数 **/
int prime[maxn];/** 记录质数 **/
bool isnot_prime[maxn];/** 0 为质数 **/
int phi[maxn];/** 欧拉函数 **/

/** 欧拉线性筛 + 质数线性筛 **/
void Eouler(int x)
{
    mem(isnot_prime,0);
    isnot_prime[0]=isnot_prime[1]=1;
    num_prime=0;
    for(int i=2;i<=x;i++){
        if(!isnot_prime[i]){/** 判断i是否为质数**/
            prime[num_prime++]=i;/**记录质数**/
            phi[i]=i-1;/**欧拉特性一**/
        }
        for(int j=0;j<num_prime&&i*prime[j]<=x;j++){
            isnot_prime[i*prime[j]]=1;/**记录非质数**/
            if(i%prime[j]==0){/**判断 i prime[j] 是否互质**/
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];/**欧拉特性二**/
                break;
            }
            else{
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];/**欧拉特性三**/
            }
        }
    }
}

/** 欧拉线性筛 **/
void Eouler(int x)
{
    for(int i=1;i<=x;i++){
        phi[i]=i;
    }
    for(int i=2;i<=x;i++){
        if(phi[i]==i){/** 判断i是否为质数 **/
            for(int j=i;j<=x;j+=i){/** 将i的倍数更新 **/
                phi[j]=phi[j]/i*(i-1); /** 欧拉表达式 **/
            }
        }
    }
}

/** 单个数的欧拉筛 **/
ll Eouler(ll x)
{
    ll ans=x;
    for(ll i=2;i*i<=x;i++){/** 质因数筛 欧拉表达式**/
        if(x%i==0){
            ans-=ans/i;
            while(x%i==0){x/=i;}
        }
    }
    if(x>1){
        ans-=ans/x;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    return 0;
}