02. 聚类算法 - 相似度距离公式、维度灾难_聚类事件顺序相似-优快云博客

聚类就是对大量未知标注的数据集，按照数据内部存在的数据特征将数据集划分为多个不同的类别，使类别内的数据比较相似，类别之间的数据相似度比较小。

聚类算法的重点是计算样本项之间的相似度，有时候也称为样本间的距离。

PS: 补充一个维度灾难的概念

数据维度高，数据量大，这种时候样本在空间中比较密集，这种情况不太好划分。只有当数据相对比较松散的时候，才能做到有效的聚类分析。

维度高，数据量大的时候人工看就要看半天。

用几何来理解，1维空间可以解释100%的数据。2维空间是一个正方形，能解释的数据可能只是正方形中的一个圆，其他部分解释不到。3维空间是一个正方体，能解释的数据是一个球体。在2维中不能解释的数据是正方形靠近四个角附近的区域，在3维中不能解释的是靠近正方体8个顶点附近的体积。随着维度的增大，不能解释的量也越来越大(聚集在超矩形体的顶点附近)，当维度越接近无穷维的时候，分类的结果自然就差了。（不太懂，为啥2维中不能解释的数据是正方形靠近四个角附近的区域？？）

一、相似度距离公式

1、闵可夫斯基距离(Minkowski)

当p为1的时候是曼哈顿距离(Manhattan)
当p为2的时候是欧式距离(Euclidean)
当p为无穷大的时候是切比雪夫距离(Chebyshev)

2、标准化欧式距离(Standardized Euclidean Distance)

左边公式是对样本所有的特征值做标准化，得到新的特征值。

平均值符号

中间公式里的s标准差怎么来的？
特征x1，对应了很多样本。所有样本的1号特征的均值即标准差，记为s1；
若每组样本有n个特征，那么就对应n个标准差 s1,s2 , ... , sn；

3、夹角余弦相似度(Cosine)：

挖掘数据内在关联的时候可能会用到。

设两个向量

4、KL距离(相对熵)

用来度量两个分布的相似程度。P(X)和Q(X)是两个分布。求出来的是P相对于Q的相似度。

物理意义：在一个事件空间中，P(X)的事件空间，若用Q(X)这个概率分布进行编码的时候(Q来描述P)，平均每一个基本事件的编码长度增加了多少比特。回顾之前信息熵的概念：《01 决策树 - 数学理论概述 - 熵》

或者也可以这样理解：已知了Q的分布，用Q近似得去估计P，使得P的不确定度减少了多少。即，用一个分布来保证另一个分布的额外不确定度。

当P(X) = Q(X)时，表示两个分布完全相等。那么相对熵=0；
当P(X)和Q(X)的相似度差异很大，那么意味着相对熵的距离就越大。

Jaccard、Pearson这两个相似度的度量公式偏重于统计学。 在机器学习中用的比较少，但是可以直接计算得到结果。

5、杰卡德相似系数(Jaccard)

如果J(A,B) 越趋近于1，表示A和B集合完全重合。如果J(A,B) 趋近于0，表示A和B集合几乎没有相交。

即J(A,B) 越接近于1，越相似。距离和相似程度反比，距离越小，相似程度越大。所以用 1-J(A,B) 来表示度量函数时，值越大，相似度越大。

6、Pearson相关系数

回顾： 标准差、方差、协方差的公式。

E[(X-E(X))(Y-E(Y))]称为随机变量X和Y的协方差
即 COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y);

协方差、方差都是描述的是数据的波动程度。
如一组数据：A:[0.00038、0.00001、0.00031];
第1个数据的大小是第二个数据的38倍，但是从绝对数值大小上来看，两者只相差了0.00037，方差看上去不大。
现在有另一组数据：B:[100000,1000020,1000010];
是A数据的方差大还是B数据的方差大？
绝对数值上是B的方差大，但是从波动范围来看，A数据的波动更大。所以用方差或者协方差来描述数据的波动情况不是很好的选择。

所以在计算相对数据波动大小的时候，我们要将数据标准化。
即：两个数据的协方差/两个数据的标准差的乘积 = Cov(X,Y) / √D(X) √D(Y)
衡量两个特征相似度的指标，我们把指标缩放到了[-1,1]之间。

具体计算公式如下：