神经网络学习笔记-受限波尔兹曼机（Restricted Boltzmann Machines）

受限波尔兹曼机（Restricted Boltzmann Machines,RBM）是一类具有两层结构，对称连接且无自反馈的随机神经网络模型，层间全连接，层内无连接。
当给定可见层神经元的状态时，各隐藏层神经元的之间是否激活是条件独立的；反之也同样成立。

基于能量模型。Hinton提出针对其的训练算法(对比散度算法)
实践证明，RBM是一种有效的特征提取方法，用于初始化前馈神经网络可明显提高泛化能力，堆叠多个RBM组成的DBN能提取更抽象的特征。
利用RBM的堆叠可以构造出深层的神经网络模型——深度信念网(Deep Belief Net, DBN)
每个节点都是一个二值的随机变量

隐藏层的神经元的个数为$n_h$，
隐藏层神经元的状态$h=(h_1,h_2,...,h_{n_h})^T\in R^{n_h}$
隐藏层神经元的偏置$b=(b_1,b_2,...,b_{n_h})^T\in R^{n_h}$

假设可见层的神经元的个数为$n_v$，
可见层神经元的状态$v=(v_1,v_2,...,v_{n_v})^T\in R^{n_v}$,
可见层神经元的偏置$a=(a_1,a_2,...,a_{n_v})^T\in R^{n_v}$,

隐藏层与可见层之间的连接权重$W=(w_{ij})\in R^{{n_h}\times {n_v}}$

网络参数$\theta=(W,a,b)$

联合组态的能量公式

$$E_{\theta}(v,h)=-\sum_{i=1}^{n_v}a_i v_i-\sum_{j=1}^{n_h}b_j h_j -\sum_{i=1}^{n_v}\sum_{j=1}^{n_h}h_j w_{ij} v_i$$

联合概率分布:

$$P_{\theta}(v,h)=\frac{-E_{\theta}(v,h)}{\sum_{v,h}-E_{\theta}(v,h)}=\frac{-E_{\theta}(v,h)}{Z_{\theta}}$$

$Z_{\theta}$为归一化因子
边缘概率分布：

$$P_{\theta}(v)=\sum_h{P_{\theta}(v,h)} = \frac{\sum_h{-E_{\theta}(v,h)}}{Z_{\theta}}$$
$$P_{\theta}(h)=\sum_v{P_{\theta}(v,h)} = \frac{\sum_v{-E_{\theta}(v,h)}}{Z_{\theta}}$$
当给定可见层的状态时，隐藏层上的某一个神经元被激活的概率，即$P(h_k=1|v)$
当给定了隐藏层的状态时，可见层上的某一神经元被激活的概率，即$P(v_k=1|h)$
$h$中去除了分量$h_k$后的向量
$$h_{-k}=(h_1,h2,...,h_{k-1},h_{k+1},...,h_{n_h})^T$$

$$E_{\theta}(v,h)=-\sum_{i=1}^{n_v}a_i v_i-\sum_{j=1}^{n_h}b_j h_j-\sum_{i=1}^{n_v}\sum_{j=1}^{n_h}h_j w_{ij} v_i$$
$$=-\beta (v,h_{-k})-h_k \alpha_k (v)$$
$$\alpha_k(v)=b_k+\sum_{i=1}^{n_v}w_{ki}v_i$$
$$P(h_k=1|v) =\frac{1}{1+e^{-\alpha_k(v)}}$$
$$=Sigmoid(\alpha_k(v))$$
$$=Sigmoid(b_k+\sum_{i=1}^{n_v}w_{ki}v_i)$$
同理，可以求得当给定了隐藏层的状态时，可见层上的某一神经元被激活的概率
$$P(v_k=1|h) =\frac{1}{1+e^{-\alpha_k(h)}}$$
$$=Sigmoid(\alpha_k(h))$$
$$=Sigmoid(a_k+\sum_{j=1}^{n_h}w_{kj}h_j)$$
对于RBM模型，其参数主要是可见层和隐藏层之间的权重，可见层的偏置以及隐藏层的偏置，即θ=(W,a,b)，对于给定的训练样本，通过训练得到参数θ，使得在该参数下，由RBM表示的概率分布尽可能与训练数据相符合
设训练集$X={\{v^1,v^2,...,v^{n_s}\}}$
训练RBM的目标就是最大化如下的似然函数

$$L_{\theta}=\prod_{i=1}^{n_s}P(v^i)$$

$$lnL_{\theta}=ln\prod_{i=1}^{n_s}P(v^i)=\sum_{i=1}^{n_s}lnP(v^i)$$