算法-java_java渐进紧界符合-优快云博客

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文章详细介绍了Java中三种不同版本的二分查找算法：左闭右闭、左闭右开以及改进版，并分析了它们的逻辑差异。同时，文章讨论了算法的时间复杂度，包括渐进上界、渐进下界和渐进紧界的概念，以及如何简化函数表达式来确定时间复杂度。

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算法-java

一、二分查找

1. 二分-左闭右闭

public Integer erfen(int target,int arr[]){
    int i = 0;
    int j = arr.length-1;
    int m = 0;
    while(i<=j){
        m=(i+j)>>>1;
        if (target<arr[m]){        // 目标在中间数左侧，缩小右边界
            j=m-1;
        }else if (arr[m]<target){  // 目标在中间数右侧，缩小左边界
            i=m+1;
        }else {                    // 目标就是中间数
            return m;
        }
    }
    return -1;
}

注：

算法解释：用i和j代表序列的两边，通过不断取中间数缩小目标范围，只要i不在j右侧就一直进行。（i和j都参与比较，左闭右闭运算）
i<=j 代表i和j指向的元素也会参与比较
i<j 代表只有m参与比较
java把二进制最高位看做符号位，因此，当两个足够大的数相加时，可能会最高位进一，导致得数为负数。
‘>>>1’ 无符号右移1位，最高位取0补位，因此，无符号右移1位替代除以2，可以避免最高位进一变负数的情况。
编程习惯：升序的数组，都用小于号。可以更清晰的看到数字的位置，如：
target < arr[m]，arr[m] < target

2. 二分-左闭右开

public Integer newErfen(int target,int arr[]){
    int i = 0;
    int j = arr.length;            // j取索引外的值
    int m = 0;
    while(i<j){                    // 只要i和j不相交就一直循环
        m=(i+j)>>>1;
        if (target<arr[m]){        
            j=m;                   // 直接j=m
        }else if (arr[m]<target){  
            i=m+1;
        }else {                    
            return m;
        }
    }
    return -1;
}

注：

左闭右开，i参与比较，j不再参与比较
因为j=m，若还while(i<=j),当查找一个不在数组的数时，最后i和j相等，即m=j=(i+j)>>>2，导致m一直不变，陷入死循环。

3. 二分-改进版

public Integer newErfen2(int target,int arr[]){
    int i = 0;
    int j = arr.length;           // j不可能指向目标
    while(1<(j-i)){               // 一直循环到区间范围只剩1才结束
        int m = (i+j)>>>1;
        if (target < arr[m]) {
            j = m;                // 缩小右边界
        }else {
            i = m;                // 缩小左边界
        }
    }
    if (arr[i] == target) {
        return i;
    }else{
        return -1;
    }
}

注：

左闭右开算法
循环只缩小查找范围，不找目标，在循环外比较a[i]与target值
循环内的比较次数比改进前少了
时间复杂度稳定为Θ(log₂n)

二、算法性能

1.时间复杂度

定义：一个算法的执行，随着数据规模增大，而增长的时间成本。不依赖于环境因素（软件因素和硬件因素）
设：
c,c1,c2都是一个常数
f(n)实际执行的代码行数与n的行数
g(n)是经过化简，变化趋势与f(n)一致的n的函数

1.1 渐进上界

从某个常数n开始，cg(n)总是位于f(n)上方，那么记作 O(g(n)),通常表示为该算法最差的运行情况
例如：

设f(n)=3n+3，g(n)=n 取c=4，在n=3之后，g(n)可以作为f(n)的渐进上界，因此表示法写作O(g(n))
设 f(n)=5 * floor(log₂n)+9, 则g(n)=log₂n, 即渐进上界O(log₂n)
已知f(n)，求g(n)：
3.1 去除相加的常量，如2里面的+9
3.2 去除相乘的常量，如2里面的5*
3.3 去除低次项，如：f(n)=n³+n²，则n²可以去掉，因为n²增长规模远小于n³