Codeforces 336C Vasily the Bear and Sequence (暴力)

本文探讨了一种从给定单调递增数列中选择若干数,以使这些数进行按位与操作后二进制末尾0的数量最大化的方法,并通过代码实现了解决方案。

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题意: 就是现在给出一个严格单调递增的数列a, 1 <= a1 < a2 < a3 ... < an <= 10^9 (1 <= n <= 10^5)
现在要求从中选出一些数作为b1, b2, b3... bm (m为选出的数的个数)

使得 b1 & b2 & b3 ... & bm的二进制末尾0的数量最大, 在满足这个值最大的同时如果有多个答案, 输出使得m尽量大的解, 如果依旧有多组解输出任意一组。

题解:

二进制数最多30位,直接枚举最高不为0 位,然后又是&运算   有0为0   只需要保证枚举的当前位置所有为1的全部拿下,  且拿下的数字中,比当前位置小的位在拿下的数字中至少要有一个为0。

代码:

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int value[100005], w[100005];
int main()
{
     int n, mark[32], num, coun, date;
     while(scanf("%d", &n) != EOF)
     {
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &value[i]);                         
        for(int i = 30; i >= 0; i--)
        {
            memset(mark, 0, sizeof(mark));
            memset(w, 0, sizeof(w));
            num = 0, coun = 0;
            for(int j = 1; j <= n; j ++)
            {
               int k = 1 << (i-1);
               if(value[j] & k)
               {
                  int k1 = value[j];
                  w[coun ++] = value[j], date = 0;
                  while(k1) 
                  {
                      int p = k1 % 2;
                      if(!p && !mark[date] && date < i) 
                      num ++, mark[date] = 1;            
                      date ++, k1 /= 2;
                  }           
               }        
            }
            if(num == i-1)   break;     
        }
        printf("%d\n", coun);
        printf("%d", w[0]);
        for(int i = 1; i < coun; i++)
        printf(" %d", w[i]); 
        printf("\n");
     }    

### 解题思路 #### 问题描述 Codeforces 1678C - Tokitsukaze and Strange Inequality 是一道关于排列组合与前缀和的应用问题。给定一个长度为 \( n \) 的排列数组 \( p \),需要统计满足条件 \( a < b < c < d \) 并且 \( p_a < p_c \) 同时 \( p_b > p_d \) 的四元组数量。 --- #### 核心思想 由于数据规模较小 (\( n \leq 5000 \)),可以直接通过枚举的方式解决问题。为了降低时间复杂度,引入 **前缀和** 技术来加速计算过程[^3]。 具体来说: - 枚举变量 \( a \) 和 \( c \),固定它们之后,目标是快速找到符合条件的 \( b \) 和 \( d \)。 - 使用预处理好的前缀和数组 `num` 来高效查询某个范围内满足特定关系的数量。 - 定义辅助数组 `sum` 表示对于固定的区间范围内的某些约束条件下的累积计数结果。 --- #### 实现细节 ##### 步骤一:构建前缀和数组 `num` 定义二维数组 `num[i][j]`,其中 `num[i][j]` 表示在序列的前 \( i \) 项中,有多少个元素大于 \( j \)。 该数组可以通过如下方式初始化: ```python n = len(p) max_val = max(p) # 初始化 num 数组 num = [[0] * (max_val + 2) for _ in range(n + 1)] for i in range(1, n + 1): for j in range(max_val + 1, -1, -1): # 反向遍历以保持正确性 if p[i - 1] > j: num[i][j] = num[i - 1][j] + 1 else: num[i][j] = num[i - 1][j] ``` 上述代码的时间复杂度为 \( O(n \cdot m) \),其中 \( m \) 是数组中的最大值。 --- ##### 步骤二:定义并填充辅助数组 `sum` 定义另一个二维数组 `sum[i][j]`,它表示当 \( a=i \), \( c=j \) 时,在区间 \([a+1, c-1]\) 中满足 \( p[b] > p[d] \) 的总贡献次数。 利用动态规划的思想逐步更新此数组: ```python sum_ = [[0] * (n + 1) for _ in range(n + 1)] bucket = [0] * (max_val + 1) for l in range(n - 1, 0, -1): bucket[p[l]] += 1 for r in range(l + 2, n + 1): sum_[l][r] = sum_[l][r - 1] + (num[r - 1][p[r - 1]] - num[l][p[r - 1]]) ``` 这里的关键在于如何有效累加当前区间的合法贡献,并借助之前已经计算的结果减少重复运算。 --- ##### 步骤三:枚举所有可能的 \( a \) 和 \( c \) 最后一步是对所有的 \( a \) 和 \( c \) 进行双重循环,并将对应位置上的 `sum[a][c]` 加入最终答案中: ```python result = 0 for a in range(1, n - 2): for c in range(a + 2, n): result += sum_[a][c] print(result) ``` 整个算法的核心部分即完成以上三个阶段的操作即可实现高效的解决方案。 --- ### 总结 本题主要考察的是对多重嵌套结构的有效简化以及合理运用前缀和技巧的能力。通过巧妙设计的数据结构能够显著提升程序运行效率至可接受水平。
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