求解范围内素数

最新推荐文章于 2022-10-29 00:23:03 发布

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#素数算法 #Eratosthenes筛选法 #素数

本文介绍了素数的基本概念及两种求解方法：试除法与埃拉托斯特尼筛法。通过C++代码实现了不同算法，并进行了优化，提高了求解效率。

1、素数的定义

素数，又称质数，在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身之外，不能被其他自然数整除的数。 1和0不是素数。

范围素数的判断方法这里提供了两种，一种是试除法，一种是Eratosthenes筛选法，其中每种方法都能进行优化，这里给出的可能不是最优化算法。

2、试除法

算法描述：

根据素数的定义可知，不能被1和自身外的整数整除的数为素数。

所以，判断一个素数是否为素数只要看它是否能被2--sqrt(i)间的数整数即可。

那么，求一个范围内的素数，只要利用一个for循环就行了。

代码如下：

bool JudgePrime(int num)    //判断素数
{
    bool flag;
    flag = true;
    for(int i = 2; i <= sqrt(num); i++) //循环判断num是否为素数
        if(num % i == 0)    //当num % i ==0 则证明 num能被整除，故不为素数
            flag = false;
    if(flag)
        return true;
    else
        return false;
}

3、 Eratosthenes筛选法

算法描述：（参照百度百科）

（1）先把1删除（现今数学界1既不是质数也不是合数）

（2）读取队列中当前最小的数2，然后把2的倍数删去

（3）读取队列中当前最小的数3，然后把3的倍数删去

（4）读取队列中当前最小的数5，然后把5的倍数删去

（5）如上所述直到需求的范围内所有的数均删除或读取

代码如下：（PS：用数组实现的）

①循环内直接输出

void Eratosthenes1(int num)
{
    int a[100000];
    for(int i = 2;i <= num; i++)//完成对数组的初始化操作
        a[i] = i;
    for(int i = 2;i <= num; i++)//输出循环
    {
        if(a[i] != 0)   //当a[i]!=0时，输出它
            cout << a[i] << " ";
        int j = 1;
        while(j * i <= num) //当i,2i,3i...<num的情况下，将a[i]赋值为0
        {
            a[j * i] = 0;
            j++;
        }
    }
    cout << endl;
}

②先标记，再循环输出

void Eratosthenes2(int num)
{
    int a[100000];
    for(int i = 2;i <= num; i++)//完成对数组的初始化操作
        a[i] = i;
    for(int i = 2;i <= sqrt(num); i++)  //标记循环，故只要循环到根号num
    {
        for(int j = 2; j * i <= num; j++) //当2i,3i...<num的情况下，将a[i]赋值为0
            a[j * i] = 0;
    }
    for(int i = 2; i <= num; i++)
        if(a[i] != 0)
            cout << a[i] << " ";
    cout << endl;
}

③对②进行优化，先排除偶数，因为偶数是不可能为素数的。之后进行标记时，只标记奇数倍，因为偶数倍一定是偶数，之前已经排除偶数了。

void Eratosthenes3(int num)
{
    int a[100000];
    a[2] = 2;
    for(int i = 3;i <= num; i++)//完成对数组的初始化操作
    {
        if(!(i % 2)) //因为偶数不可能是素数，所以i为偶数，则赋值为0
            a[i] = 0;
        else
            a[i] = i;
    }

    for(int i = 2;i <= sqrt(num); i++)  //标记循环，故只要循环到根号num
    {
        for(int j = 3; j * i <= num; j = j + 2) //因为偶数已经赋值为0了，所以当3i,5i,7i...<num的情况下，将a[i]赋值为0
            a[j * i] = 0;
    }
    for(int i = 2; i <= num; i++)
        if(a[i] != 0)
            cout << a[i] << " ";
    cout << endl;
}

4、源代码

#include <iostream>
#include <cmath>

using namespace std;

bool JudgePrime(int num)    //判断素数
{
    bool flag;
    flag = true;
    for(int i = 2; i <= sqrt(num); i++) //循环判断num是否为素数
        if(num % i == 0)    //当num % i ==0 则证明 num能被整除，故不为素数
            flag = false;
    if(flag)
        return true;
    else
        return false;
}

void Eratosthenes1(int num)
{
    int a[100000];
    for(int i = 2;i <= num; i++)//完成对数组的初始化操作
        a[i] = i;
    for(int i = 2;i <= num; i++)//输出循环
    {
        if(a[i] != 0)   //当a[i]!=0时，输出它
            cout << a[i] << " ";
        int j = 1;
        while(j * i <= num) //当i,2i,3i...<num的情况下，将a[i]赋值为0
        {
            a[j * i] = 0;
            j++;
        }
    }
    cout << endl;
}

void Eratosthenes2(int num)
{
    int a[100000];
    for(int i = 2;i <= num; i++)//完成对数组的初始化操作
        a[i] = i;
    for(int i = 2;i <= sqrt(num); i++)  //标记循环，故只要循环到根号num
    {
        for(int j = 2; j * i <= num; j++) //当2i,3i...<num的情况下，将a[i]赋值为0
            a[j * i] = 0;
    }
    for(int i = 2; i <= num; i++)
        if(a[i] != 0)
            cout << a[i] << " ";
    cout << endl;
}

void Eratosthenes3(int num)
{
    int a[100000];
    a[2] = 2;
    for(int i = 3;i <= num; i++)//完成对数组的初始化操作
    {
        if(!(i % 2)) //因为偶数不可能是素数，所以i为偶数，则赋值为0
            a[i] = 0;
        else
            a[i] = i;
    }

    for(int i = 2;i <= sqrt(num); i++)  //标记循环，故只要循环到根号num
    {
        for(int j = 3; j * i <= num; j = j + 2) //因为偶数已经赋值为0了，所以当3i,5i,7i...<num的情况下，将a[i]赋值为0
            a[j * i] = 0;
    }
    for(int i = 2; i <= num; i++)
        if(a[i] != 0)
            cout << a[i] << " ";
    cout << endl;
}

int main()
{
    int num;
    cin >> num;
//简单的穷举法
//    for(int i = 2;i <= num; i++)
//    {
//        if(JudgePrime(i))
//            cout << i << " ";
//    }
//    cout << endl;

//Eratosthenes筛选法
    Eratosthenes1(num);
    Eratosthenes2(num);
    Eratosthenes3(num);
    return 0;
}

PS：当然判断范围内素数的方法不可能只有这么两种，而且就优化程度来讲，这也不一定是最优化的，故以后如果有需要再进行补充。