埃氏筛法与欧拉筛法

素数的个数

给定整数n，请问n以内有多少个素数？

摘自挑战程序程序设计。

要枚举n以内素数，可以用埃氏筛法。这是一个与辗转相除法一样古老的算法。

首先，将2到n范围内的所有整数写下来。其中最小的数字2是素数。将表中所有2的倍数都划去。表中剩余的最小数字是3，它不能被更小的数整除，所以是素数。在将表中所有3的倍数都划去。以此类推，如果表中剩余的最小数字是m时，m就是素数。然后将表中所有m的倍数都划去。像这样反复操作，就能枚举n以内的素数。

代码： 复杂度(nlognlogn)

int prime[MAX_N];
bool is_prime[MAX_N+1];

int sieve(int n)
{
    int p=0;
    for(int i=0;i<=n;i++) is_prime[i]=true;
    is_prime[0]=is_prime[1]=false;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(is_prime[i])
        {
            prime[p++]=i;
            for(int j=2*i;j<=n;j+=i) is_prime[j]=false;
        }
    }
    return p;
}

欧拉筛法则可以把埃氏筛法优化到0(n)
每个合数只用其最小的一个质因数去筛，这便是欧拉筛了
有一句关键并且神奇的代码。

if (i % primes[j] == 0) break;

根据大佬的博客解释：
prime[]数组中的素数是递增的,当i能整除prime[j]，那么i*prime[j+1]这个合数肯定被prime[j]乘以某个数筛掉。
因为i中含有prime[j],prime[j]比prime[j+1]小，即i=k*prime[j]，那么i*prime[j+1]=(k*prime[j])*prime
[j+1]=k’*prime[j]，接下去的素数同理。所以不用筛下去了。因此，在满足i%prime[j]==0这个条件之前以及第一次
满足改条件时,prime[j]必定是prime[j]*i的最小因子。

欧拉筛代码：复杂度o(n)

void euler_sieve(int n)
{
    totPrimes = 0;
    memset(flag, 0, sizeof(flag));

    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (!flag[i])
            primes[totPrimes++] = i;
        for (int j = 0; i * primes[j] <= n; j++) {
            flag[i*primes[j]] = true;
            if (i % primes[j] == 0)
                break;
        }
    }
}