最短路径算法

问题：求图中某个顶点到其它顶点的最短距离。在这里采用邻接矩阵表示图。图由顶点和边构成，两个顶点之间有一条边，边的长度即为路径的长度。其抽象模型如下：

解法1:Dijkstra思想

思想：设置顶点S，包含已经确定最短长度的所有顶点，初始时，集合S里面只有顶点0，然后在集合S外与0连通的顶点里面选择长度最短的作为已经确定的顶点，加入集合S，然后更新到所有未确定最短长度顶点的长度。重复上述过程，直至所有顶点都在集合S中。

代码如下：

int n=5;
    vector<vector<int>> path(n,vector<int>(n,-1));
    path[0][1]=10;
    path[0][3]=30;
    path[0][4]=100;
    path[1][2]=50;
    path[2][4]=10;
    path[3][2]=20;
    path[3][4]=60;
    vector<bool> flag(n,false);
    vector<int> dis(n,0);
    for(int i=0;i<n;++i)
    {
        if(path[0][i]!=-1)
        dis[i]=path[0][i];
    }
    flag[0]=true;
    for(int i=1;i<n;++i)
    {
        int tmp=1000;
        int u=0;
        for(int j=1;j<n;++j)
        {
            if((!flag[j])&&dis[j]!=0)
            {
                if(dis[j]<tmp)
                {
                    tmp=dis[j];
                    u=j;
                }
            }
        }
        flag[u]=true;
        for(int j=0;j<n;++j)
        {
            if((!flag[j])&&path[u][j]!=-1)
            {
                int newdis=dis[u]+path[u][j];
                if(dis[j]==0)
                    dis[j]=newdis;
                else
                {
                    if(newdis<dis[j])
                    {
                        dis[j]=newdis;
                    }
                }

            }
        }
    }

解法2：Flofd思想

思想：动态规划。假设要计算两个顶点i,j之间的最短距离，这时有两种路径可以从i到达j。第一种path[i][j]直接存在；第二种，从某个中间节点k经过，即此时path[i]][j]=path[i][k]+path[k][j]。此时要计算最短路径，取上述两种情况的最小值即可。

代码如下：

说明：此图代码借用他人。版权：https://blog.youkuaiyun.com/xiaohu2022/article/details/70244123