最优美的算法之一 —— 单调队列

最优美的算法之一 —— 单调队列

应用

在了解单调队列之前,我们可以看一看有关单调队列的应用

给定一个长度为n的数组,给定一个k,使得在[i, i + k]这样的区间内的,分别输出的这个区间内的最大值和最小值。

如果是暴力思维的话,那么就可以直接遍历这里面所有的n,找到里面的最小的数和最大的数。

代码的话就是这样

n, m = map(int,input().split())#python version
maxn = []
minn = []
num = list(map(int,input().split()))

for i in range(0, n - m + 1):
    maxn.append(max(num[i:i + m]))
    minn.append(min(num[i:i + m]))
    
for i in range(len(minn)):
    print(minn[i],end=" ")
    
print("")

for i in range(len(minn)):
    print(maxn[i],end=" ")
#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10;

// const INF = 0x3f3f3f;

int a[N];
int n, k;

void get_max()
{
	for(int i = 1; i <= n - k + 1; i++)//遍历获得每个子区间内的最大值
	{
		int maxx = a[i];
		for(int j = 0; j < k; j ++)
		{
			maxx = max(maxx, a[i + j]);
		}
		cout << maxx << " " ;
	}
			
}

void get_min()
{
	for(int i = 1; i <= n - k + 1; i++)//遍历获得每个自区间的最小值
	{
		int minn = a[i];
		for(int j = 0; j < k; j ++)
		{
			minn = min(minn, a[i + j]);
		}
		cout << minn << " " ;
	}
			
}



int main()
{
	std::ios::sync_with_stdio(false);
  	cin.tie(0);
  	cout .tie(0);
  	
  	cin >> n >> k;
  	
  	for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
  	
  	get_min();
  	
  	cout << endl;
  	
  	get_max();
  	
  	return 0;

}

很显然,我们能够证明这样的算法复杂度是O(n * k)

这显然并不是一个很好的实现的方式,但是似乎没有什么好的方法,

这个时候就可以使用单调队列的思想

实现

一,我们以图中的数据为例

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-y8EHFGOV-1630999333074)(…/…/…/图片/QQ截图20210907150847.png)]

我们是要将这个队列初始化

使得在【0, k - 1】内里面的第一位一定是这个数组内的最小的数

int head = 0, tail = 0;
	for(int i = 1; i < k; i++)
	{
		while(head <= tail && a[q[tail]] >= a[i]) tail--;//使得入队的结果的一定是前面结果里面最小的
		q[++tail] = i;
	}

二,然后就可以从【k, n】的过程完成遍历,

​ 出队的结果有且仅有两种

①,这个最小值不在这个区间内

②,这个数已经不是最小值了

代码的实现为

for(int i = k; i <= n; i++)
	{
		while(head <= tail && a[q[tail]] >= a[i]) tail--;
		q[++tail] = i;
		while(q[head] <= i - k) head++;
		printf("%d ", a[q[head]]);
	}
	

综合起来,代码的实现就是

#include<iostream>

using namespace std;

const int N = 1e6 + 3;

int q[N], a[N];
int n, k;

void get_min()
{
	int head = 0, tail = 0;
	for(int i = 1; i < k; i++)
	{
		while(head <= tail && a[q[tail]] >= a[i]) tail--;
		q[++tail] = i;
	}
	
	for(int i = k; i <= n; i++)
	{
		while(head <= tail && a[q[tail]] >= a[i]) tail--;
		q[++tail] = i;
		while(q[head] <= i - k) head++;
		printf("%d ", a[q[head]]);
	}
	
}

void get_max()
{
	int head = 0, tail = 0;
		for(int i = 1; i < k; i++)
	{
		while(head <= tail && a[q[tail]] <= a[i]) tail--;
		q[++tail] = i;
	}
	
	for(int i = k; i <= n; i++)
	{
		while(head <= tail && a[q[tail]] <= a[i]) tail--;
		q[++tail] = i;
		while(q[head] <= i - k) head++;
		printf("%d ", a[q[head]]);
	}
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	
	cin >> n >> k;
	for(int i = 1; i <= n; i++)	cin >> a[i];
	
	get_min();
	puts("");
	get_max();
	
	return 0;
}

复杂度为O(n),大大的优化了。

### 单调队列的作用 单调队列是一种特殊的数据结构,其主要作用是在特定条件下高效地维护序列中的值。通过保持队列内部元素的单调性(递增或递减),可以在 **O(1)** 的时间内获取当前窗口的大值或小值[^1]。 具体来说,单调队列的核心功能包括以下几个方面: - **动态维护区间值**:在滑动窗口或其他动态变化的情况下,能够快速找到某个范围内的大值或小值。 - **减少冗余计算**:相比暴力枚举方法,单调队列可以显著降低时间复杂度,在某些场景下可将复杂度从 **O(nk)** 降至 **O(n)**[^3]。 - **支持高效的插入和删除操作**:由于基于双端队列实现,因此能够在两端进行插入和移除操作,从而适应多种复杂的约束条件。 --- ### 单调队列的应用场景 #### 1. 滑动窗口问题 这是单调队列常见的应用场景之一。当需要在一个固定大小的滑动窗口中寻找大值或小值时,单调队列能提供一种优雅而高效的解决方案。例如,给定数组 `nums` 和窗口长度 `k`,目标是找出每个窗口内的大值或小值[^3]。 以下是 C++ 实现的一个简单例子: ```cpp #include <iostream> #include <deque> using namespace std; void slidingWindowMax(vector<int>& nums, int k) { deque<int> dq; vector<int> result; for (int i = 0; i < nums.size(); ++i) { while (!dq.empty() && nums[dq.back()] <= nums[i]) dq.pop_back(); dq.push_back(i); if (dq.front() <= i - k) dq.pop_front(); if (i >= k - 1) result.push_back(nums[dq.front()]); } for(auto val : result) cout << val << " "; } int main(){ vector<int> nums = {1,3,-1,-3,5,3,6,7}; int k = 3; slidingWindowMax(nums, k); } ``` 此代码展示了如何使用单调队列解决滑动窗口大值问题[^4]。 #### 2. 动态规划优化 在某些动态规划问题中,状态转移方程可能涉及取一段连续子区间的优解。此时如果直接遍历整个区间会带来较高的时间开销,而借助单调队列,则可以让这些操作的时间复杂度降为线性级别[^2]。 #### 3. 计算前缀/后缀极值 类似于滑动窗口的情况,有时我们需要频繁访问某段数据之前的若干个数里的极大或者极小数值。这种需求同样可以用单调队列来处理,并且保证每次查询都是常量级耗时[^2]。 #### 4. 数据流实时分析 对于持续流入的新数据点而言,如果我们希望即时得到近一段时间内发生的事件的相关统计指标——比如高价、低成交量等等——那么采用预设好容量限制的循环缓冲加单向排列形式组成的容器就是理想的选择[^2]。 --- ### 总结 综上所述,单调队列不仅限于基础理论层面的研究价值,在实际工程开发当中也有着广泛的实际用途。无论是提升算法性能还是简化逻辑设计过程等方面均发挥重要作用。
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包

打赏作者

菜狗原来是我自己

你的鼓励将是我创作的最大动力

¥1 ¥2 ¥4 ¥6 ¥10 ¥20
扫码支付:¥1
获取中
扫码支付

您的余额不足,请更换扫码支付或充值

打赏作者

实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值