【译文】递归函数

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VIP免费原创最新推荐文章于 2026-03-29 10:36:50 发布 896 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

Python程序：输出斐波那契数列定义一个Python函数fib(n)，返回斐波那契数列前n项构成的列表。 def fib(n): fib = [] if n == 1: fib.append(1) elif n == 2: fib.append(1) fib.append(1) else: fib.append(1) ... 阅读详情

定义

递归与无穷大有关。我知道递归与无穷大有关。我想我知道递归与无穷大有关。他确信我认为我知道递归与无穷大有关。我们怀疑他是否确定我认为我知道......

我们认为，你认为，我们现在说服了你，我们可以永远继续这个自然语言递归的例子。递归不仅是自然语言的一个基本特征，也是人类认知能力的一个基本特征。我们的思维方式是基于递归的思维过程。即使使用非常简单的语法规则，例如“英语句子包含主语和谓语，谓语包含动词、宾语和补语”，我们也可以展示自然语言的无限可能。

认知科学家和语言学家斯蒂芬·平克 (Stephen Pinker) 是这样说的：“有几千个名词可以填满主语，几千个动词可以填满谓语，人们已经有几百万种打开句子的方式。可能的组合很快地乘以难以想象的大数。事实上，句子的全部内容在理论上是无限的，因为语言规则使用了一种叫做递归的技巧。

递归规则允许一个短语包含自身的一个例子，如她认为他认为他们认为他们认为他知道等等，无穷无尽。如果句子的数量是无限的，那么可能的想法和意图的数量也是无限的，因为实际上每个句子都表达了不同的想法或意图。”1

我们必须停止在自然语言中使用递归的短途旅行，回到计算机科学和程序中的递归，最后回到编程语言 Python 中的递归。

形容词“递归”源于拉丁语动词“recurrere”，意思是“跑回去”。这就是递归定义或递归函数所做的：它在“跑回”或返回到自身。大多数学过数学、计算机科学或阅读有关编程的书的人都会遇到阶乘，它在数学术语中定义为

啊！= n * (n-1)!，如果 n > 1 且 0！= 1

由于其简单明了，它经常被用作递归的示例。

递归的定义

递归是一种对问题进行编程或编码的方法，其中函数在其主体中一次或多次调用自身。通常，它返回此函数调用的返回值。如果一个函数定义满足递归条件，我们称这个函数为递归函数。

终止条件：递归函数必须满足一个重要的条件才能在程序中使用：它必须终止。如果每次递归调用问题的解决方案都缩小并朝着基本情况移动，则递归函数将终止。基本情况是指无需进一步递归即可解决问题的情况。如果调用中没有满足基本情况，递归可能会以无限循环结束。

例子：

4！= 4 * 3！
3！= 3 * 2！
2！= 2 * 1

替换计算值给了我们以下表达式

4！= 4 * 3 * 2 * 1

换句话说，计算机科学中的递归是一种解决问题的方法，它基于解决同一问题的较小实例。

Python 中的递归函数

现在我们来在 Python 中实现阶乘。它就像数学定义一样简单而优雅。

def  factorial ( n ): 
    if  n  ==  0 : 
        return  1 
    else : 
        return  n  *  factorial ( n - 1 )

我们可以通过在前面的函数定义中添加两个 print() 函数来跟踪该函数的工作方式：

def  factorial ( n ): 
    print ( "factorial has been called with n = "  +  str ( n )) 
    if  n  ==  1 : 
        return  1 
    else : 
        res  =  n  *  factorial ( n - 1 ) 
        print ( "intermediate result for " ,  n ,  " * factorial("  , n - 1 ,  "): " , res )
        返回 res	

打印（阶乘（5 ））

输出：

阶乘已被调用，n = 5
阶乘已被调用，n = 4
阶乘已被调用，n = 3
阶乘已被调用，n = 2
阶乘已被调用，n = 1
2 * factorial( 1 ) 的中间结果：2
3 * factorial( 2 ) 的中间结果：6
4 * factorial( 3 ) 的中间结果：24
5 * factorial( 4 ) 的中间结果：120
120

让我们看一下阶乘函数的迭代版本。

def  iterative_factorial ( n ): 
    result  =  1 
    for  i  in  range ( 2 , n + 1 ): 
        result  *=  i 
    return  result


对于 我 在 范围（5 ）：
    打印（我， iterative_factorial （我））

输出：

通常的做法是将 0 的阶乘函数扩展为参数。定义0!为是有道理的1，因为只有零个对象的一个排列，即如果没有什么要排列，“一切”就留在原地。另一个原因是在一组 n 中选择 n 个元素的方法的数量计算为 n！除以 n! 的乘积！和0！。

为了实现这一点，我们所要做的就是改变 if 语句的条件：

def  factorial ( n ): 
    if  n  ==  0 : 
        return  1 
    else : 
        return  n  *  factorial ( n - 1 )

斐波那契数列

我们关于递归的论文现在将我们引向另一个有趣的递归案例。

向日葵、黄金比例、枞树球果、达芬奇密码、Tool 的歌曲“Lateralus”和右侧的图形有什么共同点？对，斐波那契数列。我们不介绍斐波那契数列，因为它们是递归函数的另一个有用示例。尝试为这个数字序列编写递归函数可能会导致程序效率低下。事实上，如此低效以至于它不会有用。我们介绍斐波那契数列是为了向您展示递归的陷阱。

斐波那契正方形

斐波那契数是以下整数值序列的数字：

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

斐波那契数列定义为：

Fn=Fn-+Fn-2

和 F0=0 和 F1=1

斐波那契数列以比萨的数学家列奥纳多 (Leonardo of Pisa) 的名字命名，他更为人所知的是斐波那契。在他的书“Liber Abaci”（出版于 1202 年）中，他介绍了这个序列作为处理兔子的练习。他的斐波那契数列从 F1 = 1 开始，而在现代数学中，该序列从 F0 = 0 开始。但这对序列的其他成员没有影响。

斐波那契数是人工兔子种群的结果，满足以下条件：

一对刚出生的兔子，一公一母，建立初始种群
这些兔子可以在一个月大的时候交配，这样在第二个月末，雌性就可以生育另一对兔子
这些兔子是不朽的
从第二个月开始，一对交配的一对总是每个月产生一对新的（一男一女）

斐波那契数是n几个月后兔子对的数量，即 10 个月后我们将有F10 兔子。

斐波那契数列很容易写成 Python 函数。它或多或少是数学定义中的一对一映射：

def  fib ( n ): 
    if  n  ==  0 : 
        return  0 
    elif  n  ==  1 : 
        return  1 
    else : 
        return  fib ( n - 1 )  +  fib ( n - 2 )

迭代解决方案也很容易编写，尽管递归解决方案看起来更像定义：

def  fibi ( n ): 
    old ,  new  =  0 ,  1 
    if  n  ==  0 : 
        return  0 
    for  i  in  range ( n - 1 ): 
        old ,  new  =  new ,  old  +  new 
    return  new

我们将编写一个名称fibonacci包含函数fib和fibi. 为此，您必须将以下代码复制到名为 fibonacci0.py 的文件中：

""" 包含斐波那契函数的递归和迭代实现的
模块。该模块的目的在于展示斐波那契函数的纯递归实现的低效率！"""

def  fib ( n ): 
    """ 斐波那契函数的递归版本 """ 
    if  n  ==  0 : 
        return  0 
    elif  n  ==  1 : 
        return  1 
    else : 
        return  fib ( n - 1 )  +  fib ( n - 2 )
    
def  fibi ( n ): 
    """ 斐波那契函数的迭代版本 """ 
    old ,  new  =  0 ,  1 
    if  n  ==  0 : 
        return  0 
    for  i  in  range ( n - 1 ): 
        old ,  new  =  new ,  old  + 新
    返回 新

输出：

覆盖 fibonacci0.py

如果您检查函数 fib() 和 fibi()，您会发现迭代版本 fibi() 比递归版本 fib() 快很多。为了了解这“快得多”可以达到多少，我们编写了一个脚本，它使用 timeit 模块来测量调用。为此，我们将 fib 和 fibi 的函数定义保存在文件 fibonacci.py 中，我们可以在下面的程序 (fibonacci_runit.py) 中导入该文件：

从 timeit 导入 计时器

t1  =  Timer ( "fib(10)" , "from fibonacci import fib" )

对于 我 在 范围（1 ， 20 ）：
    CMD  =  “FIB（”  +  STR （我） +  “）” 
    T1  = 定时器（CMD ， “从进口斐波纳契FIB” ）
    TIME1  =  T1 。timeit ( 3 ) 
    cmd  =  "fibi("  +  str ( i )  +  ")" 
    t2  =  Timer ( cmd ,