什么是算术编码Arithmetic Encode？

算数编码是一种用浮点数来编码信息的方式，之前读过的论文有提到用算数编码来达到数据压缩的目的，尤其是在参数交换的时候，可以达到<1bpp（bit per parameter）的通信效率。

例如编码一串字符信息101(二进制)，预估的0和1的出现率分别为0.3和0.7。

possibilities_character = [0.3,0.7]

那么我们按如下方法生成编码的浮点数：

初始化区间[0,1]；把区间按概率比例划分为[0,0,3]和[0.3,1]

编码第一个字符1，那么总的区间变成了[0.3,1]，再按概率比例划分为[0.3,0.3+区间长度*0.3]以及[0.3+区间长度*0.3,1]，这里区间长度是0.7，所以最终的区间划分为[0.3,0.51],[0.51,1]

编码第二个字符0，那么总的区间变成了[0.3,0.51]，再按概率比例划分为[0.3,0.363]和[0.363,0.51]

编码第三个字符1，那么总的区间变成了[0.363,0.51]。至此结束编码，不再划分。

101就对应了区间[0.363,0.51]，那么在这个区间任选一个浮点数，都可以作为编码结果，例如0.4。（代码实现中实际取了区间的中点）

解码过程如下;

必须要给定需要解码字符的长度，此时为3。

初始化区间[0,1]；把区间按概率比例划分为[0,0,3]和[0.3,1]。

0.4落在第二个区间，所以解码出的第一位为1。并且更新总的区间[0.3,0.1]，划分为[0.3,0.51]和[0.51,1]。

0.4又落在第一个区间，所以解码出的第二位为0。并且更新总的区间[0.3,0.51]，划分为[0.3,0.363]和[0.363,0.51]。

0.4又落在第二个区间，所以解码出的第三为1。达到了需要解码的字符长度，解码结束。

可以发现编码和解码的区间计算几乎完全相同。

字符长度可以拓展，但是实际上取决于浮点数的有效精度。

字符类别可以拓展，例如26个英文字符，那么对于总的区间也被按照概率划分为26段。

代码实现中添加了伯努利采样，对于概率序列[0.2,0.3,0.5]，会生成一个三位的01序列，分别以0.2，0.3，0.5的概率生成1，否则生成0。这部分知识与本文无关，只是为了生成初始的01序列。

代码以编码和解码二进制掩码为例子。

import random

#伯努利采样，输入概率向量，返回伯努利采样的掩码（0和1构成的列表）
def bernoulli_sampling(probabilities):
    binary_mask = [1 if random.random() < p else 0 for p in probabilities]
    return binary_mask

probabilities = [0.5, 0.3, 0.2, 0.85]
binary_mask = bernoulli_sampling(probabilities)

print("原始概率序列:", probabilities)
print("伯努利采样得到的二进制掩码:", binary_mask)

def arithmetic_encoding(binary_mask):
    # 定义初始区间 [0, 1)
    low, high = 0.0, 1.0
    result = 0.0

    for bit in binary_mask:
        # 计算新的区间范围
        range_width = high - low
        high = low + range_width * (bit / 2 + 0.5)
        low = low + range_width * (bit / 2)

    # 取区间中任意一个值作为结果（这里取中点）
    result = (low + high) / 2
    return result

# 使用之前得到的二进制掩码进行算术编码
arithmetic_code = arithmetic_encoding(binary_mask)

print("二进制掩码:", binary_mask)
print("算术编码结果:", arithmetic_code)

#
probabilities_character = [0.3,0.7]

# 算数解码，传入编码的浮点数，
def arithmetic_decoding(encoded_value, probabilities_character, length):
    # 初始化区间 [0, 1)
    low, high = 0.0, 1.0
    decoded_mask = []

    for _ in range(length):
        # 计算当前区间范围
        range_width = high - low

        # 根据区间和概率确定二进制位
        if encoded_value < (low + range_width * probabilities_character[0]):
            bit = 0
            #更新区间，解码为0，就取左边
            high = low + range_width * probabilities_character[0]
        else:
            bit = 1
            #更新区间，解码为1，就取右边
            low = low + range_width * probabilities_character[0]

        # 添加解码的二进制位
        decoded_mask.append(bit)

    return decoded_mask

# 使用之前的算术编码结果进行解码
decoded_binary_mask = arithmetic_decoding(arithmetic_code, probabilities, len(probabilities))

print("算术编码结果:", arithmetic_code)
print("解码得到的二进制掩码:", decoded_binary_mask)