Paddle 傅里叶变换基础及领域应用

Paddle 傅里叶变换基础及领域应用

1. 傅里叶变换基础

1.1 傅里叶变换简介

傅里叶变换是一种重要的信号处理技术，它可以将一个信号从时域转换到频域。在频域中，信号的频率特性更加明显，有利于分析和处理。傅里叶变换的基本思想是将一个信号分解为不同频率的正弦波的叠加，通过计算正弦波的振幅和相位，可以得到信号在频域中的表示。

1.2 傅里叶变换的数学原理

傅里叶变换的数学原理基于傅里叶级数理论,它将任意周期信号分解为不同频率的正弦/余弦函数的无穷级数之和。

对于非周期函数,我们可以将其看作是周期无穷大的周期函数。傅里叶变换就是对这种非周期函数进行周期无穷大时的分解。具体来说:

设f(t)为时域上的非周期函数,F(ω)为其对应的频域函数,傅里叶变换对将它们相互转换:

正变换:

$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$

逆变换:

$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{j\omega t}d\omega$

其中 $j=\sqrt{-1}$

这里正变换将时域函数f(t)映射到了频域函数 F(ω), ω 表示角频率。逆变换则将频域函数 F(ω) 映射回时域 f(t)。

正弦/余弦函数 $e^{j\omega t}$ 可看作是单位复指数函数,模长为1,角速度为ω,表示无穷持续的单频振荡。

• 当ω取正值时,表示正向旋转,对应正频率分量
• 当ω取负值时,表示反向旋转,对应负频率分量

通过上式中的积分操作,原函数f(t)可以分解为无数个不同频率ω的单位复指数函数之和,其系数就是频域函数F(ω)。

因此,傅里叶变换实现了时域函数到频域的无穷级数分解,使我们能观察信号中各个频率分量的振幅。这种时域/频域观察信号的能力是傅里叶分析的关键。

1.3 快速傅里叶变换(FFT)算法

快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform, FFT)是一种高效计算离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform, DFT)的算法。相比直接计算DFT,FFT能极大降低计算复杂度。

FFT算法的核心思想是分治法, 将一个长度为N的DFT分解为多个小规模DFT的组合计算, 从而降低计算量。具体来说:

1. 分治(decimation)

   • 将长度为N的序列拆分成若干较小的序列
   • 小序列分别计算DFT
   • 将小DFT结果组合起来,即可得到大DFT

2. 对于一个长度为N的复数序列x,可以写作: $x(n)=x_e(n)+x_o(n$