计算机为何采用补码的形式来表示负数

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原创算法集市2019-07-21 12:33:18

 

从上文：计算机的原码、反码和补码可知，计算机有三种编码方式来表示同一个数：

• 原码：符号位加上真值的绝对值，第一位表示符号，其余位表示值。
• 反码：正数的反码是其本身；负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余位取反。
• 补码：正数的补码还是其本身；负数的补码是在其原码的基础上，符号位保持不变，其余位取反，最后+1。即反码加1。

对于+1和-1，

[+1] = [0001]原 = [0001]反 = [0001]补

[-1] = [1001]原 = [1110]反 = [1111]补

为什么计算机采用补码的形式来表示负数呢？

首先我们知道，一个数在计算机中有正负之分，这个数的最高位（符号位）用来表示它的正负，其中0表示正数，1表示负数。

对于计算机来说，加法是最基础的运算，要设计的尽量简单。

根据加法的运算法则，a-b等于a+(-b)。

如果能将符号位也参与到运算中，而非单独“辨识符号位”，就可以大大简化计算机的基础电路。

 

于是，人们开始探索只保留加法，并将符号位参与到运算中的方法。

1、原码：1 - 1 = 0

首先来看原码：1 - 1 = 0

1 - 1 = 1 + (-1)

= [0001]原 + [1001]原

= [1002]原

= -2

这显然是错误的。

2、反码：1 - 1 = 0

对于反码：

1 - 1 = 1 + (-1)

= [0001]反 + [1110]反

= [1111]反

= [1000]原

= -0

用反码进行计算，发现结果是对的。但有一个问题是“0”的表示有两个：

• -0（[1000]）
• +0（[0000]）

而0带符号是没有意义的。

且采用补码形式，对于4位的二进制，其表达的范围为：[1000]反~[0111]反，即[1111]原~[0111]原，也即[-7，7]。

因为“0”有两个编码形式，所以等于浪费了一个编码。

3、补码：1 - 1 = 0

而补码解决了反码的问题：

1 - 1 = 1 + (-1)

= [0001]补 + [1111]补

= [0000]补

= [0000]原

= 0

使用补码, 不仅仅解决了0的符号以及存在两个编码的问题，而且还能够用[1000]来表示-8，即多表示一个最低数。

即对于4位的二进制，使用原码或反码表示的范围为[-7，+7]，而使用补码表示的范围为[-8，7]。

因为计算机采用补码来表示负数，所以对于编程中常用到的32位int类型，可以表示范围是：[-2^31，2^31-1] 。

 

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