poj 2184 Cow Exhibition

本文介绍了一道关于牛的情商与智商组合问题的算法解决思路,通过将三维问题转化为二维01背包问题,并采用端点值优化技巧来提高效率。

本人推荐的好题,以前写了一题是balance,然后脑筋不行,直接来了个3维的,写到一半直接放弃了。去网上学习了下,这题完全可以转换为2维的,只需要初始化的时将所有的值都编程负无穷。

题意:给你n头牛,每头牛都有对应的智商和情商,让你选择一些牛,使得最后情商与智商的和最大(并且2者分别之和都为非负)。

思路:肯定是01背包,但是这个维数的转换是必须的,还应注意到这里面的值有正负2种,负的需要从小到大,正的大到小就ok,这里需要用到一个优化,一直记录现在的2个端点值。然后2维遍历的时候只需要遍历这个范围就行了。(有负值,则需要弄个转换点,使其全为正的)。

状态转移方程:dp[j+to] = max(dp[j+to],dp[j+to-arr1[i]]+arr2[i]);


#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define N 101
#define to 100000
#define MAXN 200001
#define INF 0x3f3f3f3f
#define max(a1,b1) (a1)>(b1)?(a1):(b1)
#define min(a1,b1) (a1)>(b1)?(b1):(a1)
using namespace std;
int arr1[N],arr2[N],n,dp[MAXN];

void solve()
{
  for(int i=0;i<MAXN;++i)
    dp[i] = -INF;
  dp[to] = 0;
  int l = 0,r = 0;
  for(int i=1;i<=n;++i)
  {
      l = min(l,arr1[i]+l);
      r = max(r,arr1[i]+r);
      if(arr1[i]>0)
      {
        for(int j=r;j>=l;--j)
      {
        dp[j+to] = max(dp[j+to],dp[j+to-arr1[i]]+arr2[i]);
      }
      }
      else
      {
          for(int j=l;j<=r;++j)
          dp[j+to] = max(dp[j+to],dp[j+to-arr1[i]]+arr2[i]);
      }
  }
  int ans = 0;
  for(int i=0;i<=r;++i)
    if(dp[i+to]>=0)
    ans = max(ans,dp[i+to]+i);
  cout<<ans<<endl;
}

int main(void)
{
    while(cin>>n)
    {
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
    scanf("%d %d",arr1+i,arr2+i);
    }
    solve();
    }
    return 0;
}


### 解题思路 POJ 3613 Cow Relays 问题要求计算在给定的图中,从起点到终点恰好经过 $k$ 条边的最短路径。常规的暴力解法,即每次走一步更新最短路径,时间复杂度为 $O(k * n^3)$,效率较低。可利用二进制思想矩阵快速幂的方法,将时间复杂度优化到 $O(logK * n^3)$ [^2]。 具体思路如下: 1. **图的表示**:使用邻接矩阵来表示图,矩阵中的元素 `mat[i][j]` 表示从节点 `i` 到节点 `j` 的最短距离,初始设为无穷大 `INF`。 2. **矩阵乘法的定义**:普通矩阵乘法是对应元素相乘再相加,而这里定义的矩阵乘法是对应元素相加再取最小。即 `C.mat[i][j] = min(C.mat[i][j], A.mat[i][k] + B.mat[k][j])`,表示从节点 `i` 经过节点 `k` 到节点 `j` 的最短距离。 3. **矩阵快速幂**:通过不断地将矩阵自乘,利用二进制的思想,快速计算出经过 $k$ 条边的最短路径矩阵。 4. **节点编号映射**:由于节点编号可能不连续,使用一个数组 `f` 来将原始节点编号映射到连续的编号,方便矩阵操作。 ### 代码实现 以下是实现该算法的 C++ 代码: ```cpp #include <stdio.h> #include <string.h> #include <algorithm> #include <iostream> using namespace std; #define INF ((1<<30)-1) int n; struct matrix { int mat[201][201]; matrix() { for(int i = 0; i < 201; i++) for(int j = 0; j < 201; j++) mat[i][j] = INF; } }; int f[2001]; matrix mul(matrix A, matrix B) { matrix C; int i, j, k; for(i = 1; i <= n; i++) { for(j = 1; j <= n; j++) { for(k = 1; k <= n; k++) { C.mat[i][j] = min(C.mat[i][j], A.mat[i][k] + B.mat[k][j]); } } } return C; } matrix powmul(matrix A, int k) { matrix B; for(int i = 1; i <= n; i++) B.mat[i][i] = 0; while(k) { if(k & 1) B = mul(B, A); A = mul(A, A); k >>= 1; } return B; } int main() { matrix A; int k, t, s, e, a, b, c; scanf("%d%d%d%d", &k, &t, &s, &e); int num = 1; while(t--) { scanf("%d%d%d", &c, &a, &b); if(f[a] == 0) f[a] = num++; if(f[b] == 0) f[b] = num++; A.mat[f[a]][f[b]] = A.mat[f[b]][f[a]] = c; } n = num - 1; A = powmul(A, k); cout << A.mat[f[s]][f[e]] << endl; return 0; } ``` ### 代码解释 1. **结构体 `matrix`**:定义了一个矩阵结构体,用于存储图的邻接矩阵,构造函数将矩阵元素初始化为无穷大。 2. **函数 `mul`**:实现了自定义的矩阵乘法,计算两个矩阵相乘的结果。 3. **函数 `powmul`**:实现了矩阵快速幂,通过不断地将矩阵自乘,快速计算出经过 $k$ 条边的最短路径矩阵。 4. **主函数 `main`**:读取输入数据,将节点编号映射到连续的编号,初始化邻接矩阵,调用 `powmul` 函数计算经过 $k$ 条边的最短路径矩阵,最后输出从起点到终点的最短距离。
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