向量范数和矩阵范数的定义

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向量范数

1-范数：

$||x||_1 = \sum_{i=1}^N|x_i|$ ，即向量元素绝对值之和，matlab调用函数norm(x, 1) 。

2-范数：

$||\textbf{x}||_2 =\sqrt{\sum_{i=1}^Nx_i^2}$ ，Euclid范数（欧几里得范数，常用计算向量长度），即向量元素绝对值的平方和再开方，matlab调用函数norm(x, 2)。

$\infty$ -范数： $||\textbf{x}||_\infty = \max_{i}|x_i|$ ，即所有向量元素绝对值中的最大值，matlab调用函数norm(x, inf)。

$-\infty$ -范数： $||\textbf{x}||_{-\infty}=\min_i|x_i|$

，即所有向量元素绝对值中的最小值，matlab调用函数norm(x, -inf)。

p-范数： $||\textbf{x}||_p = (\sum_{i=1}^N|x_i|^p)^{\frac{1}{p}}$
，即向量元素绝对值的p次方和的1/p次幂，matlab调用函数norm(x, p)。

矩阵范数

1-范数： $||A||_1 = \max_j\sum_{i=1}^m|a_{i,j}|$
，列和范数，即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值，matlab调用函数norm(A, 1)。

2-范数： $||A||_2 = \sqrt{\lambda_1}$ ， $\lambda<br/>$ 为 A^TA 的最大特征值。

，谱范数，即A'A矩阵的最大特征值的开平方。matlab调用函数norm(x, 2)。

$\infty$ -范数： $||A||_\infty = \max_i\sum_{j=1}^N|a_{i,j}|$

，行和范数，即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值，matlab调用函数norm(A, inf)。

F-范数： $||A||_F=\left(\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n|a_{i,j}|^2\right)^{\frac{1}{2}}$

，Frobenius范数，即矩阵元素绝对值的平方和再开平方，matlab调用函数norm(A, ’fro‘)。

核范数： $||A||_* = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i, \lambda_i$ 是A的奇异值。

即奇异值之和。

作者：魏通
链接：https://www.zhihu.com/question/20473040/answer/102907063
来源：知乎
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