吴恩达机器学习笔记：多变量梯度下降

1.多维特征

之前我们探讨了单变量/特征的回归模型，现在我们对房价模型增加更多的特征，例如房间数楼层等，构成一个含有多个变量的模型，模型中的特征为$（x1，x2，x\mathrm{3...}xn）$

增添更多特征后，我们引入一系列新的注释：
$n$代表特征的数量
$x^i$代表第 i 个训练实例，是特征矩阵中的第i行，是一个向量（vector）。
$x_j^{\left(i\right)}$代表特征矩阵中第 i行的第j个特征，也就是第i个训练实例的第 j个特征。
支持多变量的假设 ℎ 表示为： ℎθ (x) = θ0 + θ1x1 + θ2x2 +. . . +θnxn
这个公式中有个n+1参数和个n变量，为了使得公式能够简化一些，引入x0=1 则公式转化为：ℎθ (x) = θ0x0 + θ1x1 + θ2x2 +. . . +θnxn

此时模型中的参数是一个n + 1维的向量，任何一个训练实例也都是n + 1维的向量公式可以简化为：ℎθ(x) = θᵀX其中上标T代表矩阵转置。

2.多变量梯度下降

与单变量线性回归类似，在多变量线性回归中，我们也构建一个代价函数，则这个代价 函数是所有建模误差的平方和，即：

$J({\theta }_0,{\theta }_1,\dots ,{\theta }_n)={\sum }_{i=1}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)}{)}^2$

我们的目标和单变量线性回归问题中一样，是要找出使得代价函数最小的一系列参数。 多变量线性回归的批量梯度下降算法为：

即：

求导得：

当n >= 1时，



我们开始随机选择一系列的参数值，计算所有的预测结果后，再给所有的参数一个新的值，如此循环直到收敛。

python代码示例：

def computeCost(X, y, theta):
	inner = np.power(((X * theta.T) - y), 2) 
	return np.sum(inner) / (2 * len(X))