L1 & L2 正则化的理解

本文通过结合线性回归(岭回归)介绍了L2正则化的原理及其作用,并从偏置-方差平衡和模型自由度角度探讨了L2正则化如何帮助避免过拟合。同时,通过主成分分析展示了正则化参数对不同方差下特征的影响。

主要结合花书对于L1 & L2的简单介绍,其中知乎的两个答案对书中的介绍做了很好的补充。
具体的:
https://zhuanlan.zhihu.com/p/32488420
上述文章中,主要介绍L2的作用以及原理,更重要的是结合了线性回归(即岭回归)进行介绍。
线性回归的正规方程求解特征参数的推导过程(对矩阵求导) [ATxAx=2Ax] [ ∂ A T x A ∂ x = 2 A x ]
其中第三部分从主成分分析方面,用公式推导出了正则化参数对于不同方差下的特征的影响。第四部分从偏置(bias)-方差(variance)平衡和模型自由度的角度理解 L2 正则化如何对抗过拟合。需要反复阅读和咀嚼。
https://zhuanlan.zhihu.com/p/29360425
这一篇文章主要是与花书的内容一致,其中有一部分是结合图像的直观理解,比较值得去结合具体的公式推导去理解。

### L1 和 L2 正则化的基本概念 在机器学习中,**L1正则化(Lasso)**和**L2正则化(Ridge)**是两种常见的正则化方法,它们通过向损失函数中引入额外的惩罚项来控制模型复杂度,从而提升模型的泛化能力并减少过拟合现象。L1正则化对权重的绝对值进行惩罚,而L2正则化则对权重的平方进行惩罚。 --- ### 数学表达形式 - **L1正则化**的损失函数形式为: $$ J_{L1}(\theta) = \text{Loss}(\theta) + \lambda \sum_{i=1}^{n} |\theta_i| $$ 其中,$\lambda$ 是正则化系数,用于平衡原始损失与正则化项的重要性 [^3]。 - **L2正则化**的损失函数形式为: $$ J_{L2}(\theta) = \text{Loss}(\theta) + \lambda \sum_{i=1}^{n} \theta_i^2 $$ 这里的 $\theta_i$ 表示模型参数 [^4]。 --- ### L1 和 L2 正则化的区别 #### 1. 稀疏性(Sparsity) L1正则化倾向于生成稀疏的权重矩阵,即部分特征对应的权重会被压缩为零。这种特性使得L1正则化可以作为特征选择的一种手段,适用于需要降维或强调关键特征的场景 [^1]。 相比之下,L2正则化不会将权重完全压缩到零,而是让所有权重趋向于较小的数值。因此,它保留了所有特征的信息,但降低了模型的复杂性 [^2]。 #### 2. 对异常值的敏感性 由于L2正则化使用平方项,对较大的权重施加更重的惩罚,因此其对异常值更加敏感。而L1正则化基于绝对值,在面对较大权重时惩罚力度增长较慢,因此相对鲁棒一些 [^4]。 #### 3. 凸优化性质 L2正则化具有更强的凸性,使得优化过程更容易收敛到全局最优解。而L1正则化虽然也具备一定的凸性,但由于其不可导点的存在(如0点),在优化过程中可能需要采用次梯度等特殊处理 [^3]。 --- ### 应用场景 #### L1正则化适用场景: - 特征维度高且存在大量冗余特征。 - 需要简化模型并提取重要特征。 - 在线性回归、逻辑回归中进行特征选择 [^1]。 #### L2正则化适用场景: - 模型参数较多且特征之间可能存在共线性。 - 希望保留所有特征信息,同时防止过拟合。 - 在深度神经网络中常用于权重衰减(weight decay)策略 [^2]。 --- ### 实现方式示例(Python) 以下是一个使用 `scikit-learn` 库实现 L1 和 L2 正则化的简单线性回归模型示例: ```python from sklearn.linear_model import Lasso, Ridge from sklearn.datasets import make_regression from sklearn.model_selection import train_test_split from sklearn.metrics import mean_squared_error # 生成模拟数据 X, y = make_regression(n_features=20, n_informative=5, noise=0.1) X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2) # L1 正则化 (Lasso) lasso = Lasso(alpha=0.1) lasso.fit(X_train, y_train) y_pred_lasso = lasso.predict(X_test) print("Lasso MSE:", mean_squared_error(y_test, y_pred_lasso)) # L2 正则化 (Ridge) ridge = Ridge(alpha=0.1) ridge.fit(X_train, y_train) y_pred_ridge = ridge.predict(X_test) print("Ridge MSE:", mean_squared_error(y_test, y_pred_ridge)) ``` 上述代码展示了如何分别使用 L1 和 L2 正则化训练模型,并评估其在测试集上的性能表现 。 --- ###
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