数的表示与运算

计算机基础知识总结第一篇，先从最害怕的计算机组成原理开始。
为了防止写过就忘（其实还是会忘记T……T）。

计算机中数的表示

假设该计算机使用八位表示数，其中一位是符号位，其余7位表示数值。

机器数与真值

机器数：一个数字在机器中的二进制表示形式，带有符号位
真值：带符号位的机器数对应的真正的数值，机器数不一定就等于真值

原码

形式： 【符号位】【真值的绝对值】

eg.
+1 = 0 0000001
-1 = 1 0000001

8位表示的范围： [1 1111111, 0 1111111]，即[-127, 127]
n位表示的范围： [-2^(n-1)，2^(n-1)]

零：
+0 = 0 0000000
- 0 = 1 0000000

反码

形式：
（正数）【0】【真值的绝对值】= 原码
（负数）【1】【原码数值位按位取反】

eg.
+1 = 0 0000001_原码 = 0 0000001_反码
-1 = 1 0000001_原码 = 1 1111110_反码

8位表示的范围： [1 0000000, 0 1111111]，即[-127, 127]
n位表示的范围： [-2^(n-1)，2^(n-1)]

零：
+0 = 0 0000000
- 0 = 1 0000000

补码

形式：
（正数）【0】【真值的绝对值】= 原码
（负数）【1】【原码数值位按位取反 + 1】

eg.
+1 = 0 0000001_原码 = 0 0000001_补码
-1 = 1 0000001_原码 = 1 1111111_补码

8位表示的范围： [1 0000000, 0 1111111]，即[-128, 127]
n位表示的范围： [-2^(n-1)，2^(n-1)]

零：
+0 = 0 0000000
- 0 = 0 0000000

数的存储

大端模式

数的高字节存储在低地址端，低字节存储在高地址端

小端模式

数的低字节存储在低地址端， 高字节存储在高地址端

实例

16bit宽的数0x1234在Little-endian模式（以及Big-endian模式）CPU内存中的存放方式（假设从地址0x4000开始存放）为：

内存地址	小端模式	大端模式
0x4000	0x34	0x12
0x4001	0x12	0x34

32bit宽的数0x12345678在Little-endian模式以及Big-endian模式）CPU内存中的存放方式（假设从地址0x4000开始存放）为：

内存地址	小端模式	大端模式
0x4000	0x78	0x12
0x4001	0x56	0x34
0x4002	0x34	0x56
0x4003	0x12	0x78

易错点

肘子最容易错的地方是常常分不清数的最高位，唉

数的运算

假设该计算机使用八位表示数，其中一位是符号位，其余7位表示数值。

加减法

减法等于加上减数的补码
eg.
7₁₀ + 6₁₀ =
0 000 0111₂+ 0 000 0110₂ = 0 000 1101₂
= 13₁₀

7₁₀ - 6₁₀ = 7₁₀ + (-6)₁₀
0 000 0111₂- 0 000 0110₂
=0 000 0111₂+ 1 111 1010₂ = 0 000 0001₂
= 1₁₀

溢出

异号相加，同号相减均不溢出
异号相加所得结果介于两个操作数之间，同号相加的问题则可以转化为异号相加问题

所以，溢出的情况如下
正正相加得负，负负相加得正
正负相减得负，负正相减得正

乘法

【无符号】计算1000₂与1001₂

乘数，被乘数存在负数，记住符号位，转化为正数，即原码参与运算
假如忽略符号位，被乘数N位，乘数M位，积为N+M位
符号位不参与运算，符号相异，积为负

示例中按道理结果应该是8位，因为最高位的0，因为中间积相加没有进位

除法

【无符号】计算1001010₂除以1000₂

【有符号】


除数，被除数存在负数，记住符号位，转化为正数，即原码参与运算
符号位不参与运算
源操作数符号相异，商为负，否则商为正
余数与被除数符号相同

注意，余数可负可正，这与“余数必须为正”有所区别

浮点数

浮点表示

IEEE754标准

形式

（-1）^S * （1 + F） * 2^E
其中，F为小数域的值，E为指数域的值
单精度（32位）

双精度（位）

带偏阶的指数表示法

IEEE754标准规定单精度的偏阶为127（01111111，2⁷-1），双精度的偏阶为1023（0111……11，2¹⁰-1）
所以，
单精度的表示范围为
+/- 1.0000 0000 0000 0000 0000 000 * 2^-126（指数全零表示0或者非规格数）
到
+/- 1.0000 0000 0000 0000 0000 000 * 2^-127（指数全1表示无穷或者NaN）

双精度的表示范围为
+/- 1.00……0 * 2^-1022（指数全零表示0或者非规格数）
到
+/- 1.00……0 * 2^-1023（指数全1表示无穷或者NaN）

提问：IEEE 754标准中，阶的偏置值为什么是127，而不是128？

为了让表示的范围能够对称起来
当阶码E 为全0且尾数M 也为全0时，表示的真值x 为零，结合符号位S 为0或1，有正零和负零之分。当阶码E 为全1且尾数M为全0时，表示的真值x 为无穷大，结合符号位S 为0或1，也有+∞和-∞之分。这样在32位浮点数表示中，要除去E，用全0和全1(255)10表示零和无穷大的特殊情况，指数的偏移值不选128(10000000)，而127(01111111)。对于规格化浮点数，阶码E范围是1~254。
分两种情况计算如下：
1）偏移值为127时，绝对值范围大致是：1.2*10^(-38)~3.4*10^(+38)；
2）如果偏移值取为128时， 绝对值范围大致是：5.9*10^(-39)~1.7*10^(+38)；
可见偏移值取127时，上下范围基本对称，相对合理点。
或者也可以这么理解： 由于8位E中，只有7位有效数字，7位能表示的大小为0-127，所以偏移量可以在0-127中任取一值，在IEEE754Z中规定取127.

非规格数

先来看看非规格化数值的的表示形式与规格数的表示形式相一致，但是计算的数值会有所差异，
（-1）^S * F * 2^E
指数域为全零，实际的指数值E=1-bias，而有效数值M=F（而不是规格数中的M=1+F）

为什么非规格化的值的指数值为1-bias而不是-bias？

这种方式提供了一种从非规格方式值平滑转换到规格化值的办法。 ——《深入理解计算机系统》

但是这种平滑处理与“IEEE 754标准中，阶的偏置值为什么是127，而不是128？”关系不大，因为即使阶的偏置值是128一样可以实现非规格数向规格数的平滑转变（此时，最大非规格数为7/1024, 最小规格数为8/1024）。因此，“非规格数向规格数的平滑转变”归功于“非规格化的值的指数值为1-bias而不是-bias”，而与IEEE754标准阶的偏置值是127还是128关系不大。

为什么要设置非规格数呢？

一是为了提供一种表示0的方法，因为使用规格数，有效数值为M>=1，这样就无法表示零。实际上，+0.0的浮点表示的位模式为全0，-0.0的浮点表示的位模式：符号位为1，其余位均为0.尽管正负零会有差异之处。

二是用来表示那些非常接近0.0的数。它们提供了一种属性，称为“逐渐溢出”（gradual underflow）.

非规格化浮点数在允许浮点误差的前提下，可以使任何浮点运算可以在任何浮点数上操作，而不产生下溢出异常，但另一方面它也可能导致更多的除以0错误和NaN的出现。Consider the different numbers
A: 0 00000009 10010101111001111111111
B: 0 00000009 10010101111100001010000
They are valid floating point members, very small but still finite. But as you see the first 11 bits are identical. If you now subtract A-B or B-A the first valid bit leaves the lower exponent range, so the result without gradual underflow is….0. So A != B but A-B = 0.

　IEEE754浮点数编码

指数有k位，尾数n位，则偏阶（bias）为2^k-1-1

概述	指数	小数	单精度	双精度
0	00……00	00……00	0	0
最小非规格数	00……00	00……01	2-23*2-126	2-52*2-1022
最大非规格数	00……00	11……11	（1-2-23）*2-126	（1-2-52）*2-1022
最小规格数	00……01	00……00	1*2-126	1*2-1022
1	01……11	00……00	1	1
最大规格数	11……10	11……11	（2-2-23）*2127	（2-2-52）*21023

浮点运算

加法

步骤：
较小指数向较大指数对齐
有效数字相加
规格化（检查上溢或者下溢）
四舍五入

示例
Example addition in binary
Perform 0.5 + (-0.4375)：

0.5 = 0.1 × 20 = 1.000 × 2-1 (normalised)
-0.4375 = -0.0111 × 20 = -1.110 × 2-2 (normalised)

Rewrite the smaller number such that its exponent matches with the exponent of the larger number.
-1.110 × 2-2 = -0.1110 × 2-1

Add the mantissas:
1.000 × 2-1 + -0.1110 × 2-1 = 0.001 × 2-1

Normalise the sum, checking for overflow/underflow:
0.001 × 2-1 = 1.000 × 2-4
-126 <= -4 <= 127 ===> No overflow or underflow

Round the sum:
The sum fits in 4 bits so rounding is not required

Check: 1.000 × 2-4 = 0.0625 which is equal to 0.5 - 0.4375

Correct!

乘法

步骤：
计算新的指数
有效数字相乘，并确定小数点位置
规格化（检查上溢或者下溢）
四舍五入
确定符号：源操作数符号相异，符号位为1，否则为0

示例：
Example multiplication in binary:
1.000 × 2-1 × -1.110 × 2-2

Add the biased exponents
(-1 + 127) + (-2 + 127) - 127 = 124 ===> (-3 + 127)

Multiply the mantissas

The product is 1.110000 × 2-3
Need to keep it to 4 bits 1.110 × 2-3

Normalise (already normalised)

At this step check for overflow/underflow by making sure that
-126 <= Exponent <= 127
1 <= Biased Exponent <= 254

Round the result (no change)
Adjust the sign.
Since the original signs are different, the result will be negative -1.110 × 2-3