最优合并问题

题目描述

给定k个排好序的序列s1,s2,…,sk,用2路合并算法将这k个序列合并成一个序列。
假设所采用的2路合并算法合并两个长度分别为m和n的序列需要m+n-1次比较。
试设计一个算法确定合并这个序列的最优合并顺序,使所需要的总比较次数最少。

输入

       输入一个正整数n (0 < n < 1000)表示序列的个数
       接下来n个正整数表示每个序列元素的个数ai (0<ai<10^9)

输出

       输出合并次数的最优和最差的比较次数

样例输入

4
5 12 11 2

样例输出

52
78

贪心算法

代码如下

#include<iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;

long long a[1000000],b[1000000];

int main(){
	int n;
	long long sum;
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n;i++){
		cin>>a[i]; 
		b[i]=a[i];
	}
	
	sort(a,a+n);
	sum=0;
	for(int i=0;i<n-1;i++){
		a[i+1]=a[i]+a[i+1];		 
		sum=sum+a[i+1];
		sort(a+i+1,a+n);			
	}
	sum=sum-(n-1);
	printf("%lld\n",sum);
	
	sort(b,b+n);
	sum=0;
	for(int i=n-1;i>0;i--){
		b[i-1]=b[i]+b[i-1];	
		sum=sum+b[i-1];
		sort(b,b+i);	
	}
	sum=sum-(n-1);
	printf("%lld",sum);
	
	return 0;
	
}
 

 

### Python 实现最优合并问题 最优合并问题是典型的贪心算法应用之一。其核心思想在于每次选取两个最小的序列进行合并,从而减少总的比较次数[^1]。 以下是基于优先队列(堆)来实现最优合并问题的最佳算法: #### 使用 `heapq` 模块实现最优合并 Python 的标准库提供了 `heapq` 模块,可以方便地构建一个小顶堆用于处理此类问题。具体实现如下: ```python import heapq def optimal_merge_cost(sequence_lengths): # 如果只有一个序列,则无需合并 if len(sequence_lengths) == 1: return 0 heap = sequence_lengths[:] heapq.heapify(heap) # 将列表转化为小顶堆 total_cost = 0 while len(heap) > 1: # 取出两个最小的序列长度 first_min = heapq.heappop(heap) second_min = heapq.heappop(heap) # 计算它们的合并本并加入到总本中 merge_cost = first_min + second_min total_cost += merge_cost # 将新生序列重新放入堆中 heapq.heappush(heap, merge_cost) return total_cost # 示例测试 sequence_lengths = list(map(int, input("请输入各序列长度(用空格分隔):").split())) min_total_cost = optimal_merge_cost(sequence_lengths) print(f"最少比较次数为: {min_total_cost}") ``` 上述代码实现了最优合并过程中的最低比较次数计算方法。它利用了贪心策略,在每一步都选择当前最短的两个序列进行合并,最终达到整体最优效果[^3]。 --- #### 解决最差合并问题 对于最差合并问题,目标是最大化总的比较次数。可以通过每次都挑选最长的两个序列进行合并来实现这一点。由于这种情况下不涉及动态调整顺的需求,因此可以直接模拟这一过程: ```python def worst_merge_cost(sequence_lengths): if len(sequence_lengths) == 1: return 0 sequence_lengths.sort(reverse=True) # 对序列按降排列 total_cost = 0 while len(sequence_lengths) > 1: # 取出最大的两个序列长度 first_max = sequence_lengths.pop(0) second_max = sequence_lengths.pop(0) # 合并这两个序列本 merge_cost = first_max + second_max total_cost += merge_cost # 将新的合并后的序列放回集合,并保持有 inserted = False for i in range(len(sequence_lengths)): if merge_cost >= sequence_lengths[i]: sequence_lengths.insert(i, merge_cost) inserted = True break if not inserted: sequence_lengths.append(merge_cost) return total_cost # 示例测试 sequence_lengths = list(map(int, input("请输入各序列长度(用空格分隔):").split())) max_total_cost = worst_merge_cost(sequence_lengths) print(f"最多比较次数为: {max_total_cost}") ``` 此部分代码展示了如何通过反向操作最大化总的比较次数。 --- ### 结果对比分析 两种方法分别代表了最优和最劣情况下的合并方式。实际应用场景通常追求的是前者——即尽可能降低资源消耗或时间复杂度。而后者则更多作为理论研究的一部分存在,帮助理解极端条件下的行为特性[^2]。
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