算法训练 乘积最大

问题描述

今年是国际数学联盟确定的“2000——世界数学年”，又恰逢我国著名数学家华罗庚先生诞辰90周年。在华罗庚先生的家乡江苏金坛，组织了一场别开生面的数学智力竞赛的活动，你的一个好朋友XZ也有幸得以参加。活动中，主持人给所有参加活动的选手出了这样一道题目：

设有一个长度为N的数字串，要求选手使用K个乘号将它分成K+1个部分，找出一种分法，使得这K+1个部分的乘积能够为最大。

同时，为了帮助选手能够正确理解题意，主持人还举了如下的一个例子：

有一个数字串：312， 当N=3，K=1时会有以下两种分法：

3 * 12=36
31 * 2=62

这时，符合题目要求的结果是：31*2=62

现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。

输入格式

程序的输入共有两行：
　　第一行共有2个自然数N，K（6≤N≤40，1≤K≤6）
　　第二行是一个长度为N的数字串。

输出格式

输出所求得的最大乘积（一个自然数）。

样例输入

4 2
1231

样例输出

62

时间限制：1.0s 内存限制：256.0MB

解题思路

动态规划，定义状态，求解状态转移方程。
每次读入一个字符，转为数字之后存入a[i]中
m[i][j] 表示从位置1到位置i这些数字中加上j个乘号的最优值

如输入样例，m[i][0]表示的就是从位置1到位置i的纯数字的数值。

m[0][0] = 0
m[1][0] = 1
m[2][0] = 12
m[3][0] = 123
m[4][0] = 1231

同时有
m[i][j] = max{m[i-k][j-1] * (m[i][0]-m[i-k][0] * 10^k)}

由此此题可解。

AC代码

#include <iostream>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
int a[41];
long long m[41][6];
//求10^n
int fact10(int n)
{
	if(n == 0)
		return 1;
	else if(n == 1)
		return 10;
	else
		return 10*fact10(n-1);
}
int main()
{
	int N,K;
	cin>>N>>K;
	char ch;
	for(int i=1;i<=N;i++){
		cin>>ch;
		a[i] = (int)(ch - '0');
	}
	求出m[i][0]
	m[0][0] = 0;
	for(int i=1;i<=N;i++){
		m[i][0] = m[i-1][0] * 10 + a[i];
	}
	m[i][j] = max{m[i-k][j-1] * (m[i][0]-m[i-k][0] * 10^k)}
	for(int i=1;i<=N;i++)
	for(int j=1;j<=K;j++){
		m[i][j] = m[i-1][j-1] * (m[i][0] - m[i-1][0] * 10);
		for(int k=2;k<i;k++)
			if(m[i-k][j-1] * (m[i][0] - m[i-k][0] * fact10(k)) > m[i][j])
				m[i][j] = m[i-k][j-1] * (m[i][0] - m[i-k][0] * fact10(k));
	}
	/*
	for(int i=1;i<=N;i++){
		for(int j = 0;j<=K;j++)
			cout<<m[i][j]<<" ";
		cout<<endl;
	}
	*/
	cout<<m[N][K];
    return 0;
}