GCD - Extreme (II) (UVA - 11426)欧拉函数

最新推荐文章于 2021-12-25 13:13:37 发布

原创最新推荐文章于 2021-12-25 13:13:37 发布 · 291 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

数论专栏收录该内容

4 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一种计算从1到n所有整数与其小于该整数的所有正整数的最大公约数(GCD)之和的方法。通过使用欧拉函数(phi)来优化计算过程，并提供了一个C++实现示例。

题目链接

一道感觉挺有意思的题，自己想了好久没想出来，最后看了其他人的博客，才发现是这样哦。

如果设f(x)为x和比他小的数的gcd之和 s(n)=f(n)+f(n-1)+......+f(1);

s(n)为所要求计算的C;

f(12)=gcd(1,12)+gcd(2,12)+gcd(3,12)+gcd(4,12)+gcd(5,12)+gcd(6,12)+gcd(7,12)+gcd(8,12)+gcd(9,12)+gcd(10,12)+gcd(11,12)

=1+2+3+4+1+6+1+4+3+2+1

其中1的数量为phi(12);

其中2的数量为2个，12=2*6.如果gcd(12,x)=2,则12/2和x/2是互素的。而x/2<6 且x/2还和6互素那x的数量不就是phi(6)嘛。

这样的话f(i*j)+=i*phi(j);计算出所有的i和j就可以算出f(n),然后也就可以算出 s(n);

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn=4000010;
long long  euler[maxn]; 
long long  f[maxn];
void getEuler() { 
	memset(euler,0,sizeof(euler)); 
	euler[1] = 1; 
	for(int i = 2;i < maxn;i++) {
		if(!euler[i]) 
			for(int j = i;j < maxn; j += i) { 
				if(!euler[j]) euler[j] = j; 
				euler[j] = euler[j]/i*(i-1); 
			} 
		for(int j=1;j*i<maxn;j++){
			f[j*i]+=j*euler[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<maxn;i++){
		f[i]+=f[i-1];
	} 
}
int main()
{
	getEuler();
	int n;
	while(cin>>n,n) cout<<f[n]<<endl;
	return 0;
}