汉明码纠错

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详解汉明纠错码原理以及FPGA实现

汉明码编码原理以及步骤

1. 第一步：确认编码后数据中信息位和冗余位的位置，根据上面冗余位的位置可知，冗余位为1，2，4，8等等，所以编码后的数据为：

编码后的位数	第7位	第6位	第5位	第4位	第3位	第2位	第1位
原始数据位	d3	d2	d1		d0
冗余数据位				p2		p1	p0

  最终编码后的数据为 hanming = {d3，d2，d1，p2，d0，p1，p0}

2. 第二步：将每个原始数据位的位置拆分成n个冗余位数据位的位置之和

• 由上面表格可知：原始数据位的位置为7，6，5，3；冗余数据位的位置为4，2，1。
• 数据位7 = 4 + 2 + 1，表示编码后的数据第7位由第4位p2，第2位p1和第1位p0冗余数据来校验；
• 数据位6 = 4 + 2，表示编码后的数据第6位由第4位p2和第2位p1冗余数据来校验；
• 数据位5 = 4 + 1，表示编码后的数据第5位由第4位p2和第1位p0冗余数据来校验；
• 数据位3 = 2 + 1，表示编码后的数据第3位由第2位p1和第1位p0冗余数据来校验；

3. 第三步：根据上面的拆解结果进行分组

• 由上可知，第1位冗余位p0需要校验数据第7位，数据第5位，数据第3位；因此把(p0，d3，d1，d0)分成偶校验第一组；
• 第2位冗余位p1需要校验数据第7位，数据第6位，数据第3位，因此把（p1，d3，d2，d0）分成偶校验第二组；
• 第3位冗余位p2需要校验数据第7位，数据第6位，数据第5位，因此把（p2，d3，d2，d1）分成偶校验第三组；
     分组后的结果如下所示：

编码后的位数	第7位	第6位	第5位	第4位	第3位	第2位	第1位
原始数据位	d3	d2	d1		d0
冗余数据位				p2		p1	p0
偶校验第0组	d3		d1		d0		p0
偶校验第1组	d3	d2			d0	p1
偶校验第2组	d3	d2	d1	p2

4. 第四步：根据各分组的偶校验确定p0，p1，p2的值

• 在偶校验第0组中，如果（d3，d1，d0）中1的个数为偶数个，则p0=0，否则p0=1；
• 在偶校验第1组中，如果（d3，d2，d0）中1的个数为偶数个，则p1=0，否则p1=1；
• 在偶校验第2组中，如果（d3，d2，d1）中1的个数为偶数个，则p2=0，否则p2=1；

   举个例子：如果待发送的信息数据为{d3，d2，d1，d0}={1，1，0，1}，填入表格中则为：

编码后的位数	第7位	第6位	第5位	第4位	第3位	第2位	第1位
原始数据位	1	1	0		1
冗余数据位				p2		p1	p0
偶校验第0组	1		0		1		p0
偶校验第1组	1	1			1	p1
偶校验第2组	1	1	0	p2

• 在偶校验第0组中，（d3，d1，d0）中1的个数为偶数个，所以p0=0；
• 在偶校验第1组中，（d3，d2，d0）中1的个数为奇数个，所以p1=1；
• 在偶校验第2组中，（d3，d2，d1）中1的个数为偶数个，所以p2=0；
• 最终编码后的数据为{1，1，0，0，1，1，0}

汉明码纠错原理以及步骤

   由于偶校验分组中都可以发现这一组中奇数个错误，所以在汉明分组中的交集出就能指出错误的位置，如下图所示：

   例如上面的例子中，原始信息为{d3，d2，d1，d0}={1，1，0，1}，经过汉明编码后变成为{1，1，0，0，1，1，0}；如果传输过程中某一位发生了错误，如第4位被打反数据变成{1，1，0，1，1，1，0}，接收方将收到数据后继续分组：

接受数据的位数	第7位	第6位	第5位	第4位	第3位	第2位	第1位
接受数据位	d3	d2	d1	p2	d0	p1	p0
接受数据位	1	1	0	1	1	1	0
冗余数据位				p2		p1	p0
偶校验第0组	1		0		1		0
偶校验第1组	1	1			1	1
偶校验第2组	1	1	0	1

   在偶校验第0组中，（d3，d1，d0）中1的个数为偶数个，接受到的p0=0，正确；
   在偶校验第1组中，（d3，d2，d0）中1的个数为奇数个，接受到的p1=1，正确；
   在偶校验第2组中，（d3，d2，d1）中1的个数为偶数个，接受到的p2=1，错误；

   如上所示，三个分组中只有偶校验第2组发生了错误，其它两组都是正确的，因此三个分组没有交集，错误的只有冗余位p2，原始数据位没有发生错误，因此恢复出来的原始数据就是{1，1，0，1}，和发送的原始数据与一致。

   再用相同的例子：原始信息为{d3，d2，d1，d0}={1，1，0，1}，经过汉明编码后变成为{1，1，0，0，1，1，0}；如果传输过程中第5位发生了错误，接收到的信号为{1，1，1，0，1，1，0}，接收方依然对其分组检验如下所示：

接受数据的位数	第7位	第6位	第5位	第4位	第3位	第2位	第1位
接受数据位	d3	d2	d1	p2	d0	p1	p0
接受数据位	1	1	1	0	1	1	0
冗余数据位				p2		p1	p0
偶校验第0组	1		1		1		0
偶校验第1组	1	1			1	1
偶校验第2组	1	1	1	0

   在偶校验第0组中，（d3，d1，d0）中1的个数为奇数个，接受到的p0=0，错误；
   在偶校验第1组中，（d3，d2，d0）中1的个数为奇数个，接受到的p1=1，正确；
   在偶校验第2组中，（d3，d2，d1）中1的个数为奇数个，接受到的p2=0，错误；

   如上分析所示，错误的是第0组和第2组，第一组正确；所以错误的位置为第0组和第2组的交集处 d1，然后接收方对其位置信号打反处理恢复为正确的信号{1，1，0，1}和原始发送的信息一致，其它位以此类推。