【noi2009 二叉搜索树】动态规划

神奇的二叉树出现往往意味着神奇的性质，这题也不例外

题目悄悄地告诉了我们treap是干什么的，可是我惊奇地发现本题与平衡树的使用没有一点关系

哎，乖乖地动归吧，别乱想，孩子

经验告诉我们，二叉树往往能利用中序遍历序列转化为线性结构

这题就比较明显了，二叉搜索树，摆明了就是一个数据值从小到大的序列嘛，好了，按数据值排好序后做区间型dp想

我不一会儿便想到一个白痴n^3的方程，大概就是f[i,j]表示i到j这一段的最小花费，每次考虑枚举一个为根，再根据权值看把这个点提为根要不要多算花费

十分得意地过了样例，一测，结果可想而知的就是0分 T_T

怎么错了？陷入深深地思考中。首先很容易从心理学的角度判断出我这个算法应该是错的，n^3的方程数据没理由n<=70

科学是严谨的，我究竟怎么错了？再作深入分析

我这样做实际上是考虑了把一个点的权值改 小 ，而实际上我们可以把一个点改小还可以改 大 ！

这个的方程完全考虑不到这种情况，错误便在这里！

再感性地想一想，也确实是，有时候是有把一个点提上来没有把另一个点沉下去的好的可能的。

那么，怎么改改方程才能消掉这个后效呢？

增维？没错！就是增维，考虑到权值的后效，我们把权值这一维设进方程就可以了

把权值先离散化掉，记f[i,j,k]表示i到j这一段的子树权值全部>=k的最小花费

那么需要枚举一个u为根，我们可以把u的权值改为k，那u的子树f[i,j,k]=f[i,u-1,k]+f[u+1,j,k]+s[i..j]；而如果u的权值本身就>=k啦，

f[i,j,k]就还可以从f[i,u-1,b[i]]+f[u+1,j,b[i]]+s[i..j]转移过来(b[i]就是i的权值)

边界就是f[i,i-1,k]=0，答案就是f[1,n,0]

这个方程还是有一点是需要解释的，可能你也感觉到了，题目不是说要根的权值小于儿子权值吗？你这里是小于等于啊，难道不会萎？

事实确实没有萎，就凭这个方程ac了，怎么理解呢？

题目还说你可以把权值改成任意实数，意思就是你想让哪个点处于哪个位置就可以让它处于哪个位置

那么实际上我们可以看成根的权值改成比k略大一点点，这样就可以了

 

代码：

program syj; {dp} uses math; const maxn=75; oo=maxlongint; var i,j,k,n,m,u,l,tmp:longint; a,b,c,s:array[0..maxn]of longint; f:array[0..maxn,0..maxn,0..maxn]of longint; procedure swap(var x,y:longint);var z:longint; begin z:=x;x:=y;y:=z; end; procedure mini(var x:longint;y:longint); begin if y<x then x:=y; end; begin assign(input,'treapmod.in');reset(input); assign(output,'treapmod.out');rewrite(output); readln(n,m); for i:=1 to n do read(a[i]); for i:=1 to n do read(b[i]); for i:=1 to n do read(s[i]); for i:=1 to n-1 do for j:=i+1 to n do if a[i]>a[j] then begin swap(a[i],a[j]);swap(b[i],b[j]);swap(s[i],s[j]); end; for i:=1 to n do c[i]:=i; for i:=1 to n-1 do for j:=i+1 to n do if b[c[i]]>b[c[j]] then swap(c[i],c[j]); for i:=1 to n do b[c[i]]:=i; for i:=1 to n do inc(s[i],s[i-1]); for l:=1 to n do for i:=1 to n-l+1 do begin j:=i+l-1; for k:=0 to n do begin tmp:=oo; for u:=i to j do begin if b[u]>=k then mini(tmp,f[i,u-1,b[u]]+f[u+1,j,b[u]]); mini(tmp,f[i,u-1,k]+f[u+1,j,k]+m); end; f[i,j,k]:=tmp+s[j]-s[i-1]; end; end; writeln(f[1,n,0]); close(input); close(output); end.

一开始意识流地以为如果u点的权值>=k就只有第二种转移了，样例调了半个小时才发现。。