16、随机排队网络与有向弧无标度网络生成研究

随机排队网络与有向弧无标度网络生成研究

随机排队网络的随机单调性

在马尔可夫过程的研究中，强单调性并不意味着弱单调性。为了研究弱单调性，我们应用之前证明的定理 7，但该定理应用起来并不容易，因为需要定义许多递增集。为解决这个问题，我们提出使用事件形式化方法，并通过事件递增集形式化方法来证明独立 M/M/1 队列的弱单调性。

独立 M/M/1 队列的弱单调性是一个有趣的结果，因为该过程可以表示一个有趣的边界系统，其瞬态行为是已知的。独立队列通过删除队列之间的链接，并向队列的到达流中添加转移流来定义。已有研究表明强序可能不存在，但可以定义弱序。

我们研究具有有限队列容量的类似系统，使用基于事件的递增集形式化方法进行随机比较。设 ${Y(t), t \geq 0}$ 是由 $n$ 个具有有限容量的独立 M/M/1 队列定义的马尔可夫过程，每个队列 $i$ 由到达率 $\lambda_i + \sum_{j\neq i} \mu_j p_{ji}$、服务率 $\mu_i$ 和容量 $B_i$ 定义，用 $B$ 表示无穷小生成器。

命题 2 ：${Y(t), t \geq 0}$ 是 $\preceq_{wk}$ - 单调的。

证明 ：由于状态空间 $E$ 是多维的，$\Phi_{wk}(E)$ 可能非常大，所以需要定义用于 $\preceq_{wk}$ - 单调性的递增集。根据不等式 (14)，需要证明从状态 $x$ 和 $y$ 到递增集状态的转移率是满足条件的。因为这些转移由事件触发，所以从状态 $x$ 和 $y$ 以及这些事件来定义递增集。

从状态