15、排队网络中的随机单调性研究

排队网络中的随机单调性研究

1. 引言

随机比较是评估计算机和电信系统性能的有效方法。在研究由多维马尔可夫链表示的系统时，若概率分布没有特定形式，定量分析会非常困难。随机比较能将待研究系统与更易分析的系统进行比较，从而得出性能指标的边界。随机比较方法基于随机排序理论，该理论在多维状态空间中较为复杂，可定义多种随机排序，对应不同的概率分布比较关系。

常用的随机比较方法有递增集法和耦合方法。递增集法是一种通用形式，可定义强随机排序（⪯st）和较弱排序（⪯wk 和 ⪯wk∗）。耦合方法则是在相同事件发生情况下比较过程的实现。两种方法都会涉及转移率的比较，但方式不同：一种是样本路径的耦合，另一种是通过递增集族的定义。不过，耦合方法仅适用于强排序，而递增集法更通用，可定义强排序和较弱排序。较弱排序在随机比较中可能很有用，因为强排序的条件较为严格。对于较弱的随机比较，需要使用递增集形式，此时随机单调性是除生成器比较之外的充分条件之一。

2. 随机比较方法

多维马尔可夫过程的定量分析是一个难题，因为状态空间大小通常是组件状态空间大小的乘积，会导致状态空间爆炸。解决方法之一是用另一个更易分析的马尔可夫过程（取值于较小状态空间或具有特殊结构）来界定原始马尔可夫过程，以计算性能指标的边界。在部分有序状态空间上，可通过递增集和耦合两种方法建立随机比较。随机比较的目标是生成随机排序，可定义为随机变量、概率分布或随机过程之间的关系顺序。

2.1 随机排序理论

设 E 是离散且可数的状态空间，⪯ 是 E 上的预序（自反、传递但不一定反对称的二元关系）。假设 E 是多维状态空间，每个组件都是离散的，如排队模型中的情况。可定义多种随机排序，最著