老程的技术笔记

文章目录「最小二乘法」的提出背景从一个简单的例子开始参考资料「最小二乘法」的提出背景最小二乘法通常归功于高斯（Carl Friedrich Gauss，1795），但最小二乘法是由阿德里安-马里·勒让德（Adrien-Marie Legendre）首先发表的。它对应的英文是 least squares method，在大陆地区的翻译一般是最小二乘法，或最小平方法。它是一种对离散数据求拟合，并通过均方差最小的约束条件来达成于目标数据之间最少误差的数学建模方法。用上图进行解释会更明了一些，当我们有一组离

文章目录极限的定义「洛必达法则」的限制条件极限的定义先简单的复习一下极限：极限的定义：设函数 f(x)f(x)f(x) 在点 x0x_0x0​ 的某一去心邻域内有定义。 如果存在常数 AAA，对于任意给定的 ϵ>0\epsilon >0ϵ>0，必然存在 δ>0\delta > 0δ>0，使得当 0<∣x−x0∣<δ0 < \left| x - x_{0} \right| < \delta0<∣x−x0​∣<δ 时，有∣f(x)

文章目录1. 什么是「近似逼近」？2. 什么是「泰勒公式」？2. 函数的一般泰勒展开式3. 如何求函数在点X的值4. 常见泰勒展开公式4.1. 自然指数函数4.2. 正弦函数4.3. 余弦函数4.4. 1/(1+x)4.5. 1/(1-x)4.6. 对数函数4.7. 幂函数1. 什么是「近似逼近」？我们在遇到一个复杂的光滑的函数，往往一时半会找不到合适的函数解析式去表示它（例如下面这种情况）。亦或者需要求解复杂的函数图像在某一点P的值（例如得到一段数据，推测它在未来某一点的值），这个时候既有的知识

文章目录从链式法则出发第一类换元法例题第二类换元法总结在我们求解微积分公式时，经常会遇到积分公式难以求解的情况，所以这个时候我们通常需要用到类似「映射」的技巧，把函数积分项或者积分域换成相对容易的形式，这一章节我们来复习一下高数教材中常提到的两类换元法。从链式法则出发无论对于第一类还是第二类换元法，都遵循链式法则，例如对原函数为 f(g(x))f(g(x))f(g(x)) 求导，它的导数有如下定义：(f∘g(x))′=f′(g(x))g′(x)(f \circ g(x))'=f'(g(x)) g'

文章目录定义理解「拉格朗日乘数法」一些例题定义拉格朗日乘数法（Lagrange multiplier，以数学家约瑟夫·拉格朗日命名），在数学中的最优化问题中，是一种寻找多元函数在其变量受到一个或多个条件的约束时的极值的方法。这种方法可以将一个有 nnn 个变量与 kkk 个约束条件的最优化问题转换为一个解有 n+kn + kn+k 个变量的方程组的解的问题。这种方法中引入了一个或一组新的未知数，即拉格朗日乘数，又称拉格朗日乘子，或拉氏乘子，它们是在转换后的方程，即约束方程中作为梯度（gradient）的

文章目录先提问题高斯消元法简化模型先提问题我们先提出这样一个问题，对于如下这样一组方程，应该如何求出它的 xxx, yyy, zzz？{x+2y+z=2eq.13x+8y+z=12eq.24y+z=2eq.3\left\{\begin{matrix}x + 2y + z = 2 & eq. 1 \\3x + 8y + z = 12 & eq. 2\\4y + z = 2 & eq. 3\end{matrix}\right.⎩⎨⎧​x+2y+z=23x+8y+z=12

行列式是一种特殊的运算形式，跟一维的加减乘除这类运算类似。只不过它所针对的是对高维度数据的求解，它是从方程组的概念发展而来，是一种比较常见的数学工具。行列式和 「线性代数」 里的其他概念，比如 「矩阵」、「向量」 比较容易混淆。但是实际上在概念上它们的差异很大，你可以说「矩阵是高维度的向量，而向量是一维度的矩阵」，但行列式是行列式，它既不是向量也不是矩阵，它就是一种特殊的 运算规则 。文章目录1. 二阶行列式2. 三阶行列式3. 高阶行列式4. 行列式的性质4.1. 行列式转置后，值不变4.2. 有.

常量与变量的运算公式非常简单，这里不做赘述。所以我们重点会放在矩阵、行列式，以及向量的运算公式上。文章目录矩阵运算公式矩阵加减法（两矩阵之间要求维度相同）运算法则矩阵乘法——哈达玛积(Hadamard product)（两矩阵之间要求维度相同）运算法则矩阵乘法——叉乘/向量外积（要求前列与后行元素数一致）运算法则矩阵乘法——内积（两矩阵之间要求维度相同）运算法则矩阵乘法——克罗内科积（Kronecker product）（维度没有要求）矩阵与常数的运算运算法则矩阵运算公式矩阵运算主要分为加减乘，而没有

文章目录1. 什么是向量的模2. 什么是单位向量3. 什么是零向量4. 什么是反向量5. 什么是等向量6. 什么是方向向量7. 向量运算7.1. 向量与常数的乘积运算 （可以计算向量倍长）7.2. 向量的加法和减法 （向量的线性组合）7.3. 向量积（可以分解向量为多个向量的线性组合）7.4. 数量积（点乘，可以求向量的投影）7.5. 向量积（叉乘，可以求向量面积或垂直向量）7.6. 混合积（可以求三个向量组成的六面体的体积）1. 什么是向量的模向量的模，即向量的大小或长度。比如，对于向量 V⃗=(vi

文章目录普通函数图像y=Cy = Cy=Cy=xy = xy=xy=1xy = \frac{1}{x}y=x1​y=x2y = x^2y=x2y=xy = \sqrt{x}y=x​y=axy = a^xy=ax当 0<a<10 < a < 10<a<1 时当 a=1a = 1a=1 时当 a>1a > 1a>1 时y=x3y = x^3y=x3y=x3y = \sqrt[3]xy=3x​y=exy = e^xy=exy=e1xy=e^{\frac{1}{

文章目录积化和差公式和差化积公式归一化公式倍（半）角公式、降（升）幂公式万能公式积化和差公式sin⁡αcos⁡β=12[sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)]\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} \left [ \sin(\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta) \right ]sinαcosβ=21​[sin(α+β)+sin(α−β)]cos⁡αsin⁡β=12[sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)]\cos \al

文章目录关于常数的积分关于 1x\frac{1}{x}x1​ 的积分关于 1x\frac{1}{\sqrt{x}}x​1​ 的积分关于 xnx^nxn 的积分关于 axa^xax 的积分关于 e 的积分关于 xxx 的函数 u\mathbf{u}u、v\mathbf{v}v 的积分关于三角函数的积分正弦函数 sin⁡\sinsin 的积分余弦函数 cos⁡\coscos 的积分正切函数 tan⁡\tantan 的积分余切函数 cot⁡\cotcot 的积分「tan⁡−1\tan^{-1}tan−1」正割函数

文章目录基本导数公式基本导数运算法则加法运算减法运算乘法运算除法运算带有常数C的导数微分的四则运算加减法计算带有常数的微分乘法计算除法计算基本导数公式原函数f(x)f(x)f(x)导数f′(x)f'(x)f′(x)C (C为常数)0xnx^nxnnxn−1nx^{n-1}nxn−1CxC^xCxCxlnCC^xlnCCxlnC (C为常数，且大于0)exe^xex (e为自然常数)ex(lne)=ex⋅1=exe^x(lne) = e^x \cdot 1 =