基于图的模型

这种半监督学习假设存在一个图G={V,E}，其中V节点是有标价和无标记训练实例，无向边E连接实例i,j ，其中权重Wij。图有时被假设为一个潜在流形结构的随机实例，概率为p(x). wij 反映了xi 和xj的相似度。例如高斯边权函数定义$w_{ij}=exp(-||x_i - x_j || ^2 /\sigma ^2)$.另一个例子KNN边权定义当两点是近邻时边权为1否则为0。更大的wij 暗示了对f(xi)和f(xj)的预测应该一样。可以使用一个函数f的图能力表示：$\sum_{i,j=1}^{l+u} w_{ij}(f(x_i) - f(x_j))^2$。
图能量函数感应出f函数中一个从大到小的暗含顺序。最好的排序函数是关于图最为平滑。图的能力函数可以使用称为未标准化的图拉普拉斯矩阵来解释。
为了找到f 其即能拟合有标记数据又在图或者流形上平滑（高排序），一个典型的最小下列目标函数：

$$argmin_f \frac{1}{l}\sum_{i=1}^l c(f(x_i), y_i) + \lambda_1||f||^2 + \lambda_2\sum_{i,j = 1}^{l+u}w_{ij}(f(x_i) - f(x_j))^2$$
其中c(f(x), y)是一个凸的损失函数，例如hinge loss或者平方误差。

$min_{F,s_k} \sum_{k=1}^Ks_k Tr((F^{(k)})^T L^{(k)}F^{(k)})+\eta\sum_{k=1}^K s_k ln{s_k}$
$s.t. \sum_{k=1}^Ks_k = 1, s_k \ge 0， F_l^{(k)} = Y$

$min_F \sum_{k = 1}^K s_k Tr((F^{(k)})^T L^{(k)}F^{(k)})$
$s.t. F_l = Y$