ACM中级篇必备知识

徐州summer camp

待学课程	是否已学
后缀数组	false
线段树	false
KMP以及拓展KMP	false
RMQ	false
背包九讲	false
exgcd	true
梅森素数	false
网络流	false
set	false
欧筛	true
高斯消元	false
FFT	false
Miller-Rabin素数测试	false
欧拉图	ing
哈密顿图	ing
计算几何	ing

欧拉图

1. 性质
   欧拉回路的存在性判定：当且仅当无向图联通且每个顶点度数都为偶数时，此图为欧拉图。
   欧拉图的判定： 欧拉回路至多允许两个度为基数的定点出现。
2. 实现模板

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=100010;
int head[maxn],ver[maxn],nt[maxn],tot;
int st[maxn],ans[maxn];
bool vis[maxn];
int n,m,top,t;

void add(int x,int y)
{
   ver[++tot]=y,nt[tot]=head[x],head[x]=tot;
}

void euler(void)
{
   st[++top]=1;
   while(top>0)
   {
       int x=st[top],i=head[x];
       while(i&&vis[i]) i=nt[i];

       if(i)
       {
           st[++top]=ver[i];
           vis[i]=vis[i^1]=true;
           head[x]=nt[i];
       }
       else
       {
           top--;
           ans[++t]=x;
       }
   }
}

int main(void)
{
   cin>>n>>m;
   tot=1;

   int x,y;
   for(int i=1;i<=m;i++)
   {
       scanf("%d%d",&x,&y);
       add(x,y);
       add(y,x);
   }
   euler();
   for(int i=t;i;i--) printf("%d\n",ans[i]);

   return 0;
}

欧拉筛法

1. 原理
   每个数均被最小质因数所筛掉，并且只被筛一次，达到线性筛的目的。
2. 模板

const int MAXN=1000000;
int prime[MAXN];
bool isprime[MAXN];
void oula()
{
   int count=1;
   for(int i=2;i<=MAXN;i++){
   	if(!isprime[i]) prime[count++]=i;
   	for(int j=1;j<count;j++){
   		if(i*prime[j]>MAXN) break;
   		isprime[i*prime[j]]=1;
   		if(!i%prime[j]) break;
   	}
   }
}

exgcd

1. 原理
   首先我们要先了解贝祖定理
   即如果a、b是整数，那么一定存在整数x、y使得ax+by=gcd(a,b)。
   换句话说，如果ax+by=m有解，那么m一定是gcd(a,b)的若干倍。
   则我们可以求对于gcd（a,b）的解x,y，当x=1,y=0时有表达式a1+b0=gcd(a,b)，
   但此时a,b不为当初的那个a,b而是经过gcd转化过的a,b可以通过gcd的递归反向转化出原来的x,y
   这时我们可以试着去寻找这两个相邻状态的关系：

首先我们知道：a%b=a-(a/b)b；带入：
bx1 + (a-(a/b)b)y1
= bx1 + ay1 – (a/b)by1
= ay1 + b(x1 – a/by1) = gcd 发现 x = y1 , y = x1 – a/by1
这样就可以求值了。
(此部分参考https://blog.youkuaiyun.com/destiny1507/article/details/81750874这位博主的文章，讲的很详细。)

• 用途
  求最小正整数的解
  对于原式ax+by=m而言，我们可以求得特解x1,y1
  (此x1,y1是满足于a1*x1+b1*y1=gca(a,b)的解)
  可以简单推导出a*(x1+k*b/gcd)+b*(y1-k*a/gcd)=m，则x,y通解为x1+k*b,y1-k*a(k可以为任意整数)
  x=(x%b+b)%b,y可根据a*x+b*y=m求出，对于y的最小正整数解同理可得。
• 模板

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if(!b){
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	int ans=exgcd(b,a%b,x,y);
	int temp=x;
	x=y,y=temp-a/b*y;
	return ans;
}

计算几何

点线面的运算

• 点积和叉积
• 计算线段交
  进行两次跨立实验即可
• 计算三角形外心
• 欧拉公式计算多面体
  （平面图）若一个图能画在平面上使它的边除了在顶点处外互不相交，则称该图为平面图，或称该图能嵌入平面的。

学多少更多少吧，最近需要学的知识有点多，只能爆肝了